Sr Examen
27*x+3*y^2-10*x*y forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 3*y + 27*x - 10*x*y = 0
$$- 10 x y + 27 x + 3 y^{2} = 0$$
-10*x*y + 27*x + 3*y^2 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- 10 x y + 27 x + 3 y^{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = -5$$
$$a_{13} = \frac{27}{2}$$
$$a_{22} = 3$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}0 & -5\\-5 & 3\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -25$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$\frac{27}{2} - 5 y_{0} = 0$$
$$- 5 x_{0} + 3 y_{0} = 0$$
entonces
$$x_{0} = \frac{81}{50}$$
$$y_{0} = \frac{27}{10}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = \frac{27 x_{0}}{2}$$
$$a'_{33} = \frac{2187}{100}$$
entonces la ecuación se transformará en
$$- 10 x' y' + 3 y'^{2} + \frac{2187}{100} = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{10}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{10} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{10 \sqrt{109}}{109}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3 \sqrt{109}}{109}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}}$$
$$y' = \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}} + \tilde y \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$- 10 x' y' + 3 y'^{2} + \frac{2187}{100} = 0$$
en
$$3 \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}} + \tilde y \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}}\right)^{2} - 10 \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}} + \tilde y \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}}\right) + \frac{2187}{100} = 0$$
simplificamos
$$- 10 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}} - \frac{9 \sqrt{109} \tilde x^{2}}{218} + \frac{3 \tilde x^{2}}{2} - \frac{30 \sqrt{109} \tilde x \tilde y}{109} + 6 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}} + \frac{9 \sqrt{109} \tilde y^{2}}{218} + \frac{3 \tilde y^{2}}{2} + 10 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}} + \frac{2187}{100} = 0$$
$$- \frac{\sqrt{109} \tilde x^{2}}{2} + \frac{3 \tilde x^{2}}{2} + \frac{3 \tilde y^{2}}{2} + \frac{\sqrt{109} \tilde y^{2}}{2} + \frac{2187}{100} = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{2187}{100} \frac{1}{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{109}}{2}}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{2187}{100} \frac{1}{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{109}}{2}}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}}, \ \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}}, \ \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}}\right)$$
$$- 10 x y + 27 x + 3 y^{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = -5$$
$$a_{13} = \frac{27}{2}$$
$$a_{22} = 3$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}0 & -5\\-5 & 3\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -25$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$\frac{27}{2} - 5 y_{0} = 0$$
$$- 5 x_{0} + 3 y_{0} = 0$$
entonces
$$x_{0} = \frac{81}{50}$$
$$y_{0} = \frac{27}{10}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = \frac{27 x_{0}}{2}$$
$$a'_{33} = \frac{2187}{100}$$
entonces la ecuación se transformará en
$$- 10 x' y' + 3 y'^{2} + \frac{2187}{100} = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{10}$$
entonces
$$\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{10} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{10 \sqrt{109}}{109}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3 \sqrt{109}}{109}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}}$$
$$y' = \tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}} + \tilde y \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$- 10 x' y' + 3 y'^{2} + \frac{2187}{100} = 0$$
en
$$3 \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}} + \tilde y \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}}\right)^{2} - 10 \left(\tilde x \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}} + \tilde y \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}}\right) \left(\tilde x \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}} - \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}}\right) + \frac{2187}{100} = 0$$
simplificamos
$$- 10 \tilde x^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}} - \frac{9 \sqrt{109} \tilde x^{2}}{218} + \frac{3 \tilde x^{2}}{2} - \frac{30 \sqrt{109} \tilde x \tilde y}{109} + 6 \tilde x \tilde y \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}} + \frac{9 \sqrt{109} \tilde y^{2}}{218} + \frac{3 \tilde y^{2}}{2} + 10 \tilde y^{2} \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}} \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}} + \frac{2187}{100} = 0$$
$$- \frac{\sqrt{109} \tilde x^{2}}{2} + \frac{3 \tilde x^{2}}{2} + \frac{3 \tilde y^{2}}{2} + \frac{\sqrt{109} \tilde y^{2}}{2} + \frac{2187}{100} = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{2187}{100} \frac{1}{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{109}}{2}}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{2187}{100} \frac{1}{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{109}}{2}}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
81 27 (--, --) 50 10
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}}, \ \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( - \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{3 \sqrt{109}}{218}}, \ \sqrt{\frac{3 \sqrt{109}}{218} + \frac{1}{2}}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- 10 x y + 27 x + 3 y^{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = -5$$
$$a_{13} = \frac{27}{2}$$
$$a_{22} = 3$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 3$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & -5 & \frac{27}{2}\\-5 & 3 & 0\\\frac{27}{2} & 0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & -5\\-5 & 3 - \lambda\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = 3$$
$$I_{2} = -25$$
$$I_{3} = - \frac{2187}{4}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 3 \lambda - 25$$
$$K_{2} = - \frac{729}{4}$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 3 \lambda - 25 = 0$$
$$\lambda_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{109}}{2}$$
$$\lambda_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{109}}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{109}}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{109}}{2}\right) + \frac{2187}{100} = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{2187}{100} \frac{1}{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{109}}{2}}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{2187}{100} \frac{1}{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{109}}{2}}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
$$- 10 x y + 27 x + 3 y^{2} = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = -5$$
$$a_{13} = \frac{27}{2}$$
$$a_{22} = 3$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 0$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 3$$
|0 -5|
I2 = | |
|-5 3 |$$I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & -5 & \frac{27}{2}\\-5 & 3 & 0\\\frac{27}{2} & 0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & -5\\-5 & 3 - \lambda\end{matrix}\right|$$
| 0 27/2| |3 0|
K2 = | | + | |
|27/2 0 | |0 0|$$I_{1} = 3$$
$$I_{2} = -25$$
$$I_{3} = - \frac{2187}{4}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 3 \lambda - 25$$
$$K_{2} = - \frac{729}{4}$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} - 3 \lambda - 25 = 0$$
$$\lambda_{1} = \frac{3}{2} - \frac{\sqrt{109}}{2}$$
$$\lambda_{2} = \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{109}}{2}$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$\tilde x^{2} \left(\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{109}}{2}\right) + \tilde y^{2} \left(\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{109}}{2}\right) + \frac{2187}{100} = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{2187}{100} \frac{1}{- \frac{3}{2} + \frac{\sqrt{109}}{2}}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{2187}{100} \frac{1}{\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{109}}{2}}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica