Sr Examen
x^2-2y^2-4x*y+x-y-4=0 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Ha introducido
[src]
2 2 -4 + x + x - y - 2*y - 4*x*y = 0
$$x^{2} - 4 x y + x - 2 y^{2} - y - 4 = 0$$
x^2 - 4*x*y + x - 2*y^2 - y - 4 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$x^{2} - 4 x y + x - 2 y^{2} - y - 4 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = \frac{1}{2}$$
$$a_{22} = -2$$
$$a_{23} = - \frac{1}{2}$$
$$a_{33} = -4$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & -2\\-2 & -2\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -6$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$x_{0} - 2 y_{0} + \frac{1}{2} = 0$$
$$- 2 x_{0} - 2 y_{0} - \frac{1}{2} = 0$$
entonces
$$x_{0} = - \frac{1}{3}$$
$$y_{0} = \frac{1}{12}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = \frac{x_{0}}{2} - \frac{y_{0}}{2} - 4$$
$$a'_{33} = - \frac{101}{24}$$
entonces la ecuación se transformará en
$$x'^{2} - 4 x' y' - 2 y'^{2} - \frac{101}{24} = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{3}{4}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4}{5}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{5}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{\sqrt{5}}{5}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}$$
$$y' = - \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$x'^{2} - 4 x' y' - 2 y'^{2} - \frac{101}{24} = 0$$
en
$$- 2 \left(- \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} - 4 \left(- \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) + \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} - \frac{101}{24} = 0$$
simplificamos
$$2 \tilde x^{2} - 3 \tilde y^{2} - \frac{101}{24} = 0$$
$$- 2 \tilde x^{2} + 3 \tilde y^{2} + \frac{101}{24} = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{101}{48}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{101}{72}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \ - \frac{\sqrt{5}}{5}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \frac{\sqrt{5}}{5}, \ \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)$$
$$x^{2} - 4 x y + x - 2 y^{2} - y - 4 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = \frac{1}{2}$$
$$a_{22} = -2$$
$$a_{23} = - \frac{1}{2}$$
$$a_{33} = -4$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}1 & -2\\-2 & -2\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = -6$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$x_{0} - 2 y_{0} + \frac{1}{2} = 0$$
$$- 2 x_{0} - 2 y_{0} - \frac{1}{2} = 0$$
entonces
$$x_{0} = - \frac{1}{3}$$
$$y_{0} = \frac{1}{12}$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = \frac{x_{0}}{2} - \frac{y_{0}}{2} - 4$$
$$a'_{33} = - \frac{101}{24}$$
entonces la ecuación se transformará en
$$x'^{2} - 4 x' y' - 2 y'^{2} - \frac{101}{24} = 0$$
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
$$x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}$$
$$y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}$$
φ - se define de la fórmula
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}$$
sustituimos coeficientes
$$\cot{\left(2 \phi \right)} = - \frac{3}{4}$$
entonces
$$\phi = - \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{3}{4} \right)}}{2}$$
$$\sin{\left(2 \phi \right)} = - \frac{4}{5}$$
$$\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{3}{5}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}$$
$$\cos{\left(\phi \right)} = \frac{2 \sqrt{5}}{5}$$
$$\sin{\left(\phi \right)} = - \frac{\sqrt{5}}{5}$$
sustituimos coeficientes
$$x' = \frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}$$
$$y' = - \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}$$
entonces la ecuación se transformará de
$$x'^{2} - 4 x' y' - 2 y'^{2} - \frac{101}{24} = 0$$
en
$$- 2 \left(- \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} - 4 \left(- \frac{\sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{2 \sqrt{5} \tilde y}{5}\right) \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right) + \left(\frac{2 \sqrt{5} \tilde x}{5} + \frac{\sqrt{5} \tilde y}{5}\right)^{2} - \frac{101}{24} = 0$$
simplificamos
$$2 \tilde x^{2} - 3 \tilde y^{2} - \frac{101}{24} = 0$$
$$- 2 \tilde x^{2} + 3 \tilde y^{2} + \frac{101}{24} = 0$$
Esta ecuación es una hipérbola
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{101}{48}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{101}{72}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(-1/3, 1/12)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( \frac{2 \sqrt{5}}{5}, \ - \frac{\sqrt{5}}{5}\right)$$
$$\vec e_2 = \left( \frac{\sqrt{5}}{5}, \ \frac{2 \sqrt{5}}{5}\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$x^{2} - 4 x y + x - 2 y^{2} - y - 4 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = \frac{1}{2}$$
$$a_{22} = -2$$
$$a_{23} = - \frac{1}{2}$$
$$a_{33} = -4$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = -1$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & -2 & \frac{1}{2}\\-2 & -2 & - \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & -4\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & -2\\-2 & - \lambda - 2\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = -1$$
$$I_{2} = -6$$
$$I_{3} = \frac{101}{4}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + \lambda - 6$$
$$K_{2} = \frac{7}{2}$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} + \lambda - 6 = 0$$
$$\lambda_{1} = 2$$
$$\lambda_{2} = -3$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$2 \tilde x^{2} - 3 \tilde y^{2} - \frac{101}{24} = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{101}{48}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{101}{72}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
$$x^{2} - 4 x y + x - 2 y^{2} - y - 4 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = 1$$
$$a_{12} = -2$$
$$a_{13} = \frac{1}{2}$$
$$a_{22} = -2$$
$$a_{23} = - \frac{1}{2}$$
$$a_{33} = -4$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = -1$$
|1 -2|
I2 = | |
|-2 -2|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & -2 & \frac{1}{2}\\-2 & -2 & - \frac{1}{2}\\\frac{1}{2} & - \frac{1}{2} & -4\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & -2\\-2 & - \lambda - 2\end{matrix}\right|$$
| 1 1/2| | -2 -1/2|
K2 = | | + | |
|1/2 -4 | |-1/2 -4 |$$I_{1} = -1$$
$$I_{2} = -6$$
$$I_{3} = \frac{101}{4}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + \lambda - 6$$
$$K_{2} = \frac{7}{2}$$
Como
$$I_{2} < 0 \wedge I_{3} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : hipérbola
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} + \lambda - 6 = 0$$
$$\lambda_{1} = 2$$
$$\lambda_{2} = -3$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$2 \tilde x^{2} - 3 \tilde y^{2} - \frac{101}{24} = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\frac{101}{48}} - \frac{\tilde y^{2}}{\frac{101}{72}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica