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Forma canónica/ 5-x^2-y^2

5-x^2-y^2 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
     2    2    
5 - x  - y  = 0
−x2−y2+5=0- x^{2} - y^{2} + 5 = 0 
-x^2 - y^2 + 5 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
−x2−y2+5=0- x^{2} - y^{2} + 5 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=−1a_{11} = -1
a12=0a_{12} = 0
a13=0a_{13} = 0
a22=−1a_{22} = -1
a23=0a_{23} = 0
a33=5a_{33} = 5
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣−100−1∣\Delta = \left|\begin{matrix}-1 & 0\\0 & -1\end{matrix}\right|
Δ=1\Delta = 1
Como
Δ\Delta
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
a11x0+a12y0+a13=0a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0
a12x0+a22y0+a23=0a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0
sustituimos coeficientes
−x0=0- x_{0} = 0
−y0=0- y_{0} = 0
entonces
x0=0x_{0} = 0
y0=0y_{0} = 0
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
a33′+a11x′2+2a12x′y′+a22y′2=0a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0
donde
a33′=a13x0+a23y0+a33a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}
o
a33′=5a'_{33} = 5
a33′=5a'_{33} = 5
entonces la ecuación se transformará en
−x′2−y′2+5=0- x'^{2} - y'^{2} + 5 = 0
Esta ecuación es una circunferencia
x~2(1155)2+y~2(1155)2=1\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{5} \sqrt{5}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{5} \sqrt{5}}\right)^{2}} = 1
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(1, 0)\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)
e⃗2=(0, 1)\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
−x2−y2+5=0- x^{2} - y^{2} + 5 = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=−1a_{11} = -1
a12=0a_{12} = 0
a13=0a_{13} = 0
a22=−1a_{22} = -1
a23=0a_{23} = 0
a33=5a_{33} = 5
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=−2I_{1} = -2
     |-1  0 |
I2 = |      |
     |0   -1|

I3=∣−1000−10005∣I_{3} = \left|\begin{matrix}-1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 5\end{matrix}\right|
I(λ)=∣−λ−100−λ−1∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 1 & 0\\0 & - \lambda - 1\end{matrix}\right|
     |-1  0|   |-1  0|
K2 = |     | + |     |
     |0   5|   |0   5|

I1=−2I_{1} = -2
I2=1I_{2} = 1
I3=5I_{3} = 5
I(λ)=λ2+2λ+1I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 2 \lambda + 1
K2=−10K_{2} = -10
Como
I2>0∧I1I3<0I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : circunferencia
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
−I1λ+I2+λ2=0- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0
o
λ2+2λ+1=0\lambda^{2} + 2 \lambda + 1 = 0
λ1=−1\lambda_{1} = -1
λ2=−1\lambda_{2} = -1
entonces la forma canónica de la ecuación será
x~2λ1+y~2λ2+I3I2=0\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0
o
−x~2−y~2+5=0- \tilde x^{2} - \tilde y^{2} + 5 = 0
x~2(1155)2+y~2(1155)2=1\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{5} \sqrt{5}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{5} \sqrt{5}}\right)^{2}} = 1
- está reducida a la forma canónica
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