Sr Examen
5-x^2-y^2 forma canónica
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
Solución
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- x^{2} - y^{2} + 5 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = -1$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 5$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}-1 & 0\\0 & -1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 1$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$- x_{0} = 0$$
$$- y_{0} = 0$$
entonces
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 5$$
$$a'_{33} = 5$$
entonces la ecuación se transformará en
$$- x'^{2} - y'^{2} + 5 = 0$$
Esta ecuación es una circunferencia
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{5} \sqrt{5}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{5} \sqrt{5}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
$$- x^{2} - y^{2} + 5 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = -1$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 5$$
Calculemos el determinante
$$\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|$$
o, sustituimos
$$\Delta = \left|\begin{matrix}-1 & 0\\0 & -1\end{matrix}\right|$$
$$\Delta = 1$$
Como
$$\Delta$$
no es igual a 0, entonces
hallamos el centro de coordenadas canónicas. Para eso resolvemos el sistema de ecuaciones
$$a_{11} x_{0} + a_{12} y_{0} + a_{13} = 0$$
$$a_{12} x_{0} + a_{22} y_{0} + a_{23} = 0$$
sustituimos coeficientes
$$- x_{0} = 0$$
$$- y_{0} = 0$$
entonces
$$x_{0} = 0$$
$$y_{0} = 0$$
Así pasamos a la ecuación en el sistema de coordenadas O'x'y'
$$a'_{33} + a_{11} x'^{2} + 2 a_{12} x' y' + a_{22} y'^{2} = 0$$
donde
$$a'_{33} = a_{13} x_{0} + a_{23} y_{0} + a_{33}$$
o
$$a'_{33} = 5$$
$$a'_{33} = 5$$
entonces la ecuación se transformará en
$$- x'^{2} - y'^{2} + 5 = 0$$
Esta ecuación es una circunferencia
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{5} \sqrt{5}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{5} \sqrt{5}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)
Base de las coordenadas canónicas
$$\vec e_1 = \left( 1, \ 0\right)$$
$$\vec e_2 = \left( 0, \ 1\right)$$
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
$$- x^{2} - y^{2} + 5 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = -1$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 5$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
sustituimos coeficientes
$$I_{1} = -2$$
$$I_{3} = \left|\begin{matrix}-1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 5\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 1 & 0\\0 & - \lambda - 1\end{matrix}\right|$$
$$I_{1} = -2$$
$$I_{2} = 1$$
$$I_{3} = 5$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 2 \lambda + 1$$
$$K_{2} = -10$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : circunferencia
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} + 2 \lambda + 1 = 0$$
$$\lambda_{1} = -1$$
$$\lambda_{2} = -1$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$- \tilde x^{2} - \tilde y^{2} + 5 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{5} \sqrt{5}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{5} \sqrt{5}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica
$$- x^{2} - y^{2} + 5 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0$$
donde
$$a_{11} = -1$$
$$a_{12} = 0$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{22} = -1$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{33} = 5$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22}$$
|a11 a12|
I2 = | |
|a12 a22|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|$$
|a11 a13| |a22 a23|
K2 = | | + | |
|a13 a33| |a23 a33|sustituimos coeficientes
$$I_{1} = -2$$
|-1 0 |
I2 = | |
|0 -1|$$I_{3} = \left|\begin{matrix}-1 & 0 & 0\\0 & -1 & 0\\0 & 0 & 5\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda - 1 & 0\\0 & - \lambda - 1\end{matrix}\right|$$
|-1 0| |-1 0|
K2 = | | + | |
|0 5| |0 5|$$I_{1} = -2$$
$$I_{2} = 1$$
$$I_{3} = 5$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} + 2 \lambda + 1$$
$$K_{2} = -10$$
Como
$$I_{2} > 0 \wedge I_{1} I_{3} < 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : circunferencia
Formulamos la ecuación característica para nuestra línea:
$$- I_{1} \lambda + I_{2} + \lambda^{2} = 0$$
o
$$\lambda^{2} + 2 \lambda + 1 = 0$$
$$\lambda_{1} = -1$$
$$\lambda_{2} = -1$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2} + \frac{I_{3}}{I_{2}} = 0$$
o
$$- \tilde x^{2} - \tilde y^{2} + 5 = 0$$
$$\frac{\tilde x^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{5} \sqrt{5}}\right)^{2}} + \frac{\tilde y^{2}}{\left(\frac{1}{\frac{1}{5} \sqrt{5}}\right)^{2}} = 1$$
- está reducida a la forma canónica