Se da la ecuación de la línea de 2-o orden: x2−3x+4=0 Esta ecuación tiene la forma: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0 donde a11=1 a12=0 a13=−23 a22=0 a23=0 a33=4 Calculemos el determinante Δ=a11a12a12a22 o, sustituimos Δ=1000 Δ=0 Como Δ es igual a 0, entonces (x~−23)2=−47 x~′2=−47 Esta ecuación es dos rectas paralelas - está reducida a la forma canónica donde se ha hecho la sustitución x~′=x~−23 y~′=y~ Centro de las coordenadas canónicas en Oxy x0=x~cos(ϕ)−y~sin(ϕ) y0=x~sin(ϕ)+y~cos(ϕ) x0=0⋅0+23 y0=20⋅3 x0=23 y0=0 Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(3/2, 0)
Base de las coordenadas canónicas e1=(1,0) e2=(0,1)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden: x2−3x+4=0 Esta ecuación tiene la forma: a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0 donde a11=1 a12=0 a13=−23 a22=0 a23=0 a33=4 Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes: I1=a11+a22
I1=1 I2=0 I3=0 I(λ)=λ2−λ K2=47 Como I2=0∧I3=0∧K2>0∧I1=0 entonces por razón de tipos de rectas: esta ecuación tiene el tipo : dos rectos paralelos imaginarios I1y~2+I1K2=0 o y~2+47=0