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Forma canónica/ xx-10xy+25yy=0

xx-10xy+25yy=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src] 
 2       2             
x  + 25*y  - 10*x*y = 0
x2−10xy+25y2=0x^{2} - 10 x y + 25 y^{2} = 0 
x^2 - 10*x*y + 25*y^2 = 0
Solución detallada
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
x2−10xy+25y2=0x^{2} - 10 x y + 25 y^{2} = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=1a_{11} = 1
a12=−5a_{12} = -5
a13=0a_{13} = 0
a22=25a_{22} = 25
a23=0a_{23} = 0
a33=0a_{33} = 0
Calculemos el determinante
Δ=∣a11a12a12a22∣\Delta = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12}\\a_{12} & a_{22}\end{matrix}\right|
o, sustituimos
Δ=∣1−5−525∣\Delta = \left|\begin{matrix}1 & -5\\-5 & 25\end{matrix}\right|
Δ=0\Delta = 0
Como
Δ\Delta
es igual a 0, entonces
Hacemos el giro del sistema de coordenadas obtenido al ángulo de φ
x′=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x' = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y′=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y' = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
φ - se define de la fórmula
cot⁡(2ϕ)=a11−a222a12\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{a_{11} - a_{22}}{2 a_{12}}
sustituimos coeficientes
cot⁡(2ϕ)=125\cot{\left(2 \phi \right)} = \frac{12}{5}
entonces
ϕ=acot⁡(125)2\phi = \frac{\operatorname{acot}{\left(\frac{12}{5} \right)}}{2}
sin⁡(2ϕ)=513\sin{\left(2 \phi \right)} = \frac{5}{13}
cos⁡(2ϕ)=1213\cos{\left(2 \phi \right)} = \frac{12}{13}
cos⁡(ϕ)=cos⁡(2ϕ)2+12\cos{\left(\phi \right)} = \sqrt{\frac{\cos{\left(2 \phi \right)}}{2} + \frac{1}{2}}
sin⁡(ϕ)=1−cos⁡2(ϕ)\sin{\left(\phi \right)} = \sqrt{1 - \cos^{2}{\left(\phi \right)}}
cos⁡(ϕ)=52626\cos{\left(\phi \right)} = \frac{5 \sqrt{26}}{26}
sin⁡(ϕ)=2626\sin{\left(\phi \right)} = \frac{\sqrt{26}}{26}
sustituimos coeficientes
x′=526x~26−26y~26x' = \frac{5 \sqrt{26} \tilde x}{26} - \frac{\sqrt{26} \tilde y}{26}
y′=26x~26+526y~26y' = \frac{\sqrt{26} \tilde x}{26} + \frac{5 \sqrt{26} \tilde y}{26}
entonces la ecuación se transformará de
x′2−10x′y′+25y′2=0x'^{2} - 10 x' y' + 25 y'^{2} = 0
en
25(26x~26+526y~26)2−10(26x~26+526y~26)(526x~26−26y~26)+(526x~26−26y~26)2=025 \left(\frac{\sqrt{26} \tilde x}{26} + \frac{5 \sqrt{26} \tilde y}{26}\right)^{2} - 10 \left(\frac{\sqrt{26} \tilde x}{26} + \frac{5 \sqrt{26} \tilde y}{26}\right) \left(\frac{5 \sqrt{26} \tilde x}{26} - \frac{\sqrt{26} \tilde y}{26}\right) + \left(\frac{5 \sqrt{26} \tilde x}{26} - \frac{\sqrt{26} \tilde y}{26}\right)^{2} = 0
simplificamos
26y~2=026 \tilde y^{2} = 0
y~2=0\tilde y^{2} = 0
y~2=0\tilde y^{2} = 0
y~′2=0\tilde y'^{2} = 0
Esta ecuación es dos rectas paralelas
- está reducida a la forma canónica
donde se ha hecho la sustitución
y~′=y~\tilde y' = \tilde y
x~′=x~\tilde x' = \tilde x
Centro de las coordenadas canónicas en Oxy
x0=x~cos⁡(ϕ)−y~sin⁡(ϕ)x_{0} = \tilde x \cos{\left(\phi \right)} - \tilde y \sin{\left(\phi \right)}
y0=x~sin⁡(ϕ)+y~cos⁡(ϕ)y_{0} = \tilde x \sin{\left(\phi \right)} + \tilde y \cos{\left(\phi \right)}
x0=052626+02626x_{0} = 0 \frac{5 \sqrt{26}}{26} + 0 \frac{\sqrt{26}}{26}
y0=02626+052626y_{0} = 0 \frac{\sqrt{26}}{26} + 0 \frac{5 \sqrt{26}}{26}
x0=0x_{0} = 0
y0=0y_{0} = 0
Centro de las coordenadas canónicas en el punto O
(0, 0)

Base de las coordenadas canónicas
e⃗1=(52626, 2626)\vec e_1 = \left( \frac{5 \sqrt{26}}{26}, \ \frac{\sqrt{26}}{26}\right)
e⃗2=(−2626, 52626)\vec e_2 = \left( - \frac{\sqrt{26}}{26}, \ \frac{5 \sqrt{26}}{26}\right)
Método de invariantes
Se da la ecuación de la línea de 2-o orden:
x2−10xy+25y2=0x^{2} - 10 x y + 25 y^{2} = 0
Esta ecuación tiene la forma:
a11x2+2a12xy+2a13x+a22y2+2a23y+a33=0a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y + a_{33} = 0
donde
a11=1a_{11} = 1
a12=−5a_{12} = -5
a13=0a_{13} = 0
a22=25a_{22} = 25
a23=0a_{23} = 0
a33=0a_{33} = 0
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
I1=a11+a22I_{1} = a_{11} + a_{22}
     |a11  a12|
I2 = |        |
     |a12  a22|

I3=∣a11a12a13a12a22a23a13a23a33∣I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|
I(λ)=∣a11−λa12a12a22−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12}\\a_{12} & a_{22} - \lambda\end{matrix}\right|
     |a11  a13|   |a22  a23|
K2 = |        | + |        |
     |a13  a33|   |a23  a33|

sustituimos coeficientes
I1=26I_{1} = 26
     |1   -5|
I2 = |      |
     |-5  25|

I3=∣1−50−5250000∣I_{3} = \left|\begin{matrix}1 & -5 & 0\\-5 & 25 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right|
I(λ)=∣1−λ−5−525−λ∣I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}1 - \lambda & -5\\-5 & 25 - \lambda\end{matrix}\right|
     |1  0|   |25  0|
K2 = |    | + |     |
     |0  0|   |0   0|

I1=26I_{1} = 26
I2=0I_{2} = 0
I3=0I_{3} = 0
I(λ)=λ2−26λI{\left(\lambda \right)} = \lambda^{2} - 26 \lambda
K2=0K_{2} = 0
Como
I2=0∧I3=0∧(I1=0∨K2=0)I_{2} = 0 \wedge I_{3} = 0 \wedge \left(I_{1} = 0 \vee K_{2} = 0\right)
entonces por razón de tipos de rectas:
esta ecuación tiene el tipo : dos rectos coincidentes
I1y~2+K2I1=0I_{1} \tilde y^{2} + \frac{K_{2}}{I_{1}} = 0
o
26y~2=026 \tilde y^{2} = 0
None

- está reducida a la forma canónica
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