Sr Examen

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xy+3y2+4x+12y–6=0 forma canónica

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Gráfico:

x: [, ]
y: [, ]
z: [, ]

Calidad:

 (Cantidad de puntos en el eje)

Tipo de trazado:

Solución

Ha introducido [src]
-6 + 3*y2 + 4*x + 12*y + x*y = 0
$$x y + 4 x + 12 y + 3 y_{2} - 6 = 0$$
x*y + 4*x + 12*y + 3*y2 - 6 = 0
Método de invariantes
Se da la ecuación de superficie de 2 grado:
$$x y + 4 x + 12 y + 3 y_{2} - 6 = 0$$
Esta ecuación tiene la forma:
$$a_{11} x^{2} + 2 a_{12} x y + 2 a_{13} x y_{2} + 2 a_{14} x + a_{22} y^{2} + 2 a_{23} y y_{2} + 2 a_{24} y + a_{33} y_{2}^{2} + 2 a_{34} y_{2} + a_{44} = 0$$
donde
$$a_{11} = 0$$
$$a_{12} = \frac{1}{2}$$
$$a_{13} = 0$$
$$a_{14} = 2$$
$$a_{22} = 0$$
$$a_{23} = 0$$
$$a_{24} = 6$$
$$a_{33} = 0$$
$$a_{34} = \frac{3}{2}$$
$$a_{44} = -6$$
Las invariantes de esta ecuación al transformar las coordenadas son los determinantes:
$$I_{1} = a_{11} + a_{22} + a_{33}$$
     |a11  a12|   |a22  a23|   |a11  a13|
I2 = |        | + |        | + |        |
     |a12  a22|   |a23  a33|   |a13  a33|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33}\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14}\\a_{12} & a_{22} & a_{23} & a_{24}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} & a_{34}\\a_{14} & a_{24} & a_{34} & a_{44}\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}a_{11} - \lambda & a_{12} & a_{13}\\a_{12} & a_{22} - \lambda & a_{23}\\a_{13} & a_{23} & a_{33} - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |a11  a14|   |a22  a24|   |a33  a34|
K2 = |        | + |        | + |        |
     |a14  a44|   |a24  a44|   |a34  a44|

     |a11  a12  a14|   |a22  a23  a24|   |a11  a13  a14|
     |             |   |             |   |             |
K3 = |a12  a22  a24| + |a23  a33  a34| + |a13  a33  a34|
     |             |   |             |   |             |
     |a14  a24  a44|   |a24  a34  a44|   |a14  a34  a44|

sustituimos coeficientes
$$I_{1} = 0$$
     | 0   1/2|   |0  0|   |0  0|
I2 = |        | + |    | + |    |
     |1/2   0 |   |0  0|   |0  0|

$$I_{3} = \left|\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & 0\\\frac{1}{2} & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right|$$
$$I_{4} = \left|\begin{matrix}0 & \frac{1}{2} & 0 & 2\\\frac{1}{2} & 0 & 0 & 6\\0 & 0 & 0 & \frac{3}{2}\\2 & 6 & \frac{3}{2} & -6\end{matrix}\right|$$
$$I{\left(\lambda \right)} = \left|\begin{matrix}- \lambda & \frac{1}{2} & 0\\\frac{1}{2} & - \lambda & 0\\0 & 0 & - \lambda\end{matrix}\right|$$
     |0  2 |   |0  6 |   | 0   3/2|
K2 = |     | + |     | + |        |
     |2  -6|   |6  -6|   |3/2  -6 |

     | 0   1/2  2 |   |0   0    6 |   |0   0    2 |
     |            |   |           |   |           |
K3 = |1/2   0   6 | + |0   0   3/2| + |0   0   3/2|
     |            |   |           |   |           |
     | 2    6   -6|   |6  3/2  -6 |   |2  3/2  -6 |

$$I_{1} = 0$$
$$I_{2} = - \frac{1}{4}$$
$$I_{3} = 0$$
$$I_{4} = \frac{9}{16}$$
$$I{\left(\lambda \right)} = - \lambda^{3} + \frac{\lambda}{4}$$
$$K_{2} = - \frac{169}{4}$$
$$K_{3} = \frac{27}{2}$$
Como
$$I_{3} = 0 \wedge I_{2} \neq 0 \wedge I_{4} \neq 0$$
entonces por razón de tipos de rectas:
hay que
Formulamos la ecuación característica para nuestra superficie:
$$- I_{1} \lambda^{2} + I_{2} \lambda - I_{3} + \lambda^{3} = 0$$
o
$$\lambda^{3} - \frac{\lambda}{4} = 0$$
$$\lambda_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$\lambda_{2} = \frac{1}{2}$$
$$\lambda_{3} = 0$$
entonces la forma canónica de la ecuación será
$$\tilde y2 \cdot 2 \sqrt{\frac{\left(-1\right) I_{4}}{I_{2}}} + \left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right) = 0$$
y
$$- \tilde y2 \cdot 2 \sqrt{\frac{\left(-1\right) I_{4}}{I_{2}}} + \left(\tilde x^{2} \lambda_{1} + \tilde y^{2} \lambda_{2}\right) = 0$$
$$- \frac{\tilde x^{2}}{2} + \frac{\tilde y^{2}}{2} + 3 \tilde y2 = 0$$
y
$$- \frac{\tilde x^{2}}{2} + \frac{\tilde y^{2}}{2} - 3 \tilde y2 = 0$$
$$- 2 \tilde y2 + \left(\frac{\tilde x^{2}}{3} - \frac{\tilde y^{2}}{3}\right) = 0$$
y
$$2 \tilde y2 + \left(\frac{\tilde x^{2}}{3} - \frac{\tilde y^{2}}{3}\right) = 0$$
es la ecuación para el tipo paraboloide hiperbólico
- está reducida a la forma canónica