Sr Examen

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y=ctgx-1/√x+7/√x^3
Derivada de la función/ y=ctg/ ctgx-1/ y=ctgx-1/√x+7/√x^3

Derivada de y=ctgx-1/√x+7/√x^3

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           1       7   
cot(x) - ----- + ------
           ___        3
         \/ x      ___ 
                 \/ x
(cot⁡(x)−1x)+7(x)3\left(\cot{\left(x \right)} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) + \frac{7}{\left(\sqrt{x}\right)^{3}} 
cot(x) - 1/sqrt(x) + 7/(sqrt(x))^3
Solución detallada

  1. diferenciamos (cot⁡(x)−1x)+7(x)3\left(\cot{\left(x \right)} - \frac{1}{\sqrt{x}}\right) + \frac{7}{\left(\sqrt{x}\right)^{3}} miembro por miembro:

    1. diferenciamos cot⁡(x)−1x\cot{\left(x \right)} - \frac{1}{\sqrt{x}} miembro por miembro:

      1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

        Method #1

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

        2. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

        3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

        4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

        Method #2

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          −sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Sustituimos u=xu = \sqrt{x}.

        2. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx\frac{d}{d x} \sqrt{x}:

          1. Según el principio, aplicamos: x\sqrt{x} tenemos 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −12x32- \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}

        Entonces, como resultado: 12x32\frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}

      Como resultado de: −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)+12x32- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}}

    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos u=(x)3u = \left(\sqrt{x}\right)^{3}.

      2. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx(x)3\frac{d}{d x} \left(\sqrt{x}\right)^{3}:

        1. Sustituimos u=xu = \sqrt{x}.

        2. Según el principio, aplicamos: u3u^{3} tenemos 3u23 u^{2}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx\frac{d}{d x} \sqrt{x}:

          1. Según el principio, aplicamos: x\sqrt{x} tenemos 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          3x2\frac{3 \sqrt{x}}{2}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −32x52- \frac{3}{2 x^{\frac{5}{2}}}

      Entonces, como resultado: −212x52- \frac{21}{2 x^{\frac{5}{2}}}

    Como resultado de: −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)+12x32−212x52- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{21}{2 x^{\frac{5}{2}}}

  2. Simplificamos:

    −1sin⁡2(x)+12x32−212x52- \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{21}{2 x^{\frac{5}{2}}}

Respuesta:

−1sin⁡2(x)+12x32−212x52- \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{21}{2 x^{\frac{5}{2}}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
       1         2        21  
-1 + ------ - cot (x) - ------
        3/2                5/2
     2*x                2*x
−cot⁡2(x)−1+12x32−212x52- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1 + \frac{1}{2 x^{\frac{3}{2}}} - \frac{21}{2 x^{\frac{5}{2}}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
    3       105       /       2   \       
- ------ + ------ + 2*\1 + cot (x)/*cot(x)
     5/2      7/2                         
  4*x      4*x
2(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)−34x52+1054x722 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} - \frac{3}{4 x^{\frac{5}{2}}} + \frac{105}{4 x^{\frac{7}{2}}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                 2                                            
    /       2   \     735       15          2    /       2   \
- 2*\1 + cot (x)/  - ------ + ------ - 4*cot (x)*\1 + cot (x)/
                        9/2      7/2                          
                     8*x      8*x
−2(cot⁡2(x)+1)2−4(cot⁡2(x)+1)cot⁡2(x)+158x72−7358x92- 2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} - 4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)} + \frac{15}{8 x^{\frac{7}{2}}} - \frac{735}{8 x^{\frac{9}{2}}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=ctgx-1/√x+7/√x^3
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