Derivada de y=(x²+4)²(2x³-1)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \left(x^{2} + 4\right)^{2}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x^{2} + 4$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{2} + 4\right)$:

      1. diferenciamos $x^{2} + 4$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         2. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

         Como resultado de: $2 x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 x \left(2 x^{2} + 8\right)$

   $g{\left(x \right)} = 2 x^{3} - 1$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $2 x^{3} - 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

         Entonces, como resultado: $6 x^{2}$

      2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

      Como resultado de: $6 x^{2}$

   Como resultado de: $6 x^{2} \left(x^{2} + 4\right)^{2} + 2 x \left(2 x^{2} + 8\right) \left(2 x^{3} - 1\right)$

2. Simplificamos:

   $2 x \left(x^{2} + 4\right) \left(4 x^{3} + 3 x \left(x^{2} + 4\right) - 2\right)$

Respuesta:

$2 x \left(x^{2} + 4\right) \left(4 x^{3} + 3 x \left(x^{2} + 4\right) - 2\right)$