Derivada de x/sqrt(5+x-x^2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{- x^{2} + x + 5}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = - x^{2} + x + 5$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- x^{2} + x + 5\right)$:

      1. diferenciamos $- x^{2} + x + 5$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $5$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

            Entonces, como resultado: $- 2 x$

         Como resultado de: $1 - 2 x$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1 - 2 x}{2 \sqrt{- x^{2} + x + 5}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{x \left(1 - 2 x\right)}{2 \sqrt{- x^{2} + x + 5}} + \sqrt{- x^{2} + x + 5}}{- x^{2} + x + 5}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x + 10}{2 \left(- x^{2} + x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{x + 10}{2 \left(- x^{2} + x + 5\right)^{\frac{3}{2}}}$