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y=2^tg(1/x)
Derivada de la función/ (1/x)/ y=2^tg(1/x)

Derivada de y=2^tg(1/x)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
    /1\
 tan|-|
    \x/
2
2tan⁡(1x)2^{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}} 
2^tan(1/x)
Solución detallada

  1. Sustituimos u=tan⁡(1x)u = \tan{\left(\frac{1}{x} \right)}.

  2. ddu2u=2ulog⁡(2)\frac{d}{d u} 2^{u} = 2^{u} \log{\left(2 \right)}

  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(1x)\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{1}{x} \right)}:

    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      tan⁡(1x)=sin⁡(1x)cos⁡(1x)\tan{\left(\frac{1}{x} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}

    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=sin⁡(1x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} y g(x)=cos⁡(1x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=1xu = \frac{1}{x}.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

        ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx1x\frac{d}{d x} \frac{1}{x}:

        1. Según el principio, aplicamos: 1x\frac{1}{x} tenemos −1x2- \frac{1}{x^{2}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −cos⁡(1x)x2- \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Sustituimos u=1xu = \frac{1}{x}.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx1x\frac{d}{d x} \frac{1}{x}:

        1. Según el principio, aplicamos: 1x\frac{1}{x} tenemos −1x2- \frac{1}{x^{2}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        sin⁡(1x)x2\frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      −sin⁡2(1x)x2−cos⁡2(1x)x2cos⁡2(1x)\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}}{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}

    Como resultado de la secuencia de reglas:

    2tan⁡(1x)(−sin⁡2(1x)x2−cos⁡2(1x)x2)log⁡(2)cos⁡2(1x)\frac{2^{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}} \left(- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}

  4. Simplificamos:

    −2tan⁡(1x)log⁡(2)x2cos⁡2(1x)- \frac{2^{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}} \log{\left(2 \right)}}{x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}

Respuesta:

−2tan⁡(1x)log⁡(2)x2cos⁡2(1x)- \frac{2^{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}} \log{\left(2 \right)}}{x^{2} \cos^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
     /1\                      
  tan|-|                      
     \x/ /       2/1\\        
-2      *|1 + tan |-||*log(2) 
         \        \x//        
------------------------------
               2              
              x
−2tan⁡(1x)(tan⁡2(1x)+1)log⁡(2)x2- \frac{2^{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}} \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)}}{x^{2}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
    /1\               /         /1\   /       2/1\\       \       
 tan|-|               |    2*tan|-|   |1 + tan |-||*log(2)|       
    \x/ /       2/1\\ |         \x/   \        \x//       |       
2      *|1 + tan |-||*|2 + -------- + --------------------|*log(2)
        \        \x// \       x                x          /       
------------------------------------------------------------------
                                 3                                
                                x
2tan⁡(1x)(tan⁡2(1x)+1)(2+(tan⁡2(1x)+1)log⁡(2)x+2tan⁡(1x)x)log⁡(2)x3\frac{2^{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}} \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \left(2 + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)}}{x} + \frac{2 \tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) \log{\left(2 \right)}}{x^{3}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                       /                                                           2                                                                 \        
     /1\               |      /       2/1\\        2/1\         /1\   /       2/1\\     2        /       2/1\\            /       2/1\\           /1\|        
  tan|-|               |    2*|1 + tan |-||   4*tan |-|   12*tan|-|   |1 + tan |-|| *log (2)   6*|1 + tan |-||*log(2)   6*|1 + tan |-||*log(2)*tan|-||        
     \x/ /       2/1\\ |      \        \x//         \x/         \x/   \        \x//              \        \x//            \        \x//           \x/|        
-2      *|1 + tan |-||*|6 + --------------- + --------- + --------- + ---------------------- + ---------------------- + -----------------------------|*log(2) 
         \        \x// |            2              2          x                  2                       x                             2             |        
                       \           x              x                             x                                                     x              /        
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                               4                                                                              
                                                                              x
−2tan⁡(1x)(tan⁡2(1x)+1)(6+6(tan⁡2(1x)+1)log⁡(2)x+12tan⁡(1x)x+(tan⁡2(1x)+1)2log⁡(2)2x2+6(tan⁡2(1x)+1)log⁡(2)tan⁡(1x)x2+2(tan⁡2(1x)+1)x2+4tan⁡2(1x)x2)log⁡(2)x4- \frac{2^{\tan{\left(\frac{1}{x} \right)}} \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \left(6 + \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)}}{x} + \frac{12 \tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x} + \frac{\left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)^{2} \log{\left(2 \right)}^{2}}{x^{2}} + \frac{6 \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right) \log{\left(2 \right)} \tan{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} + \frac{2 \left(\tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)} + 1\right)}{x^{2}} + \frac{4 \tan^{2}{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}}\right) \log{\left(2 \right)}}{x^{4}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=2^tg(1/x)
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