Derivada de x*(ln(x+1)-0.3)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(10 \log{\left(x + 1 \right)} - 3\right)$ y $g{\left(x \right)} = 10$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = 10 \log{\left(x + 1 \right)} - 3$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $10 \log{\left(x + 1 \right)} - 3$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $-3$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Sustituimos $u = x + 1$.

            2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

               1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

                  Como resultado de: $1$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $\frac{1}{x + 1}$

            Entonces, como resultado: $\frac{10}{x + 1}$

         Como resultado de: $\frac{10}{x + 1}$

      Como resultado de: $\frac{10 x}{x + 1} + 10 \log{\left(x + 1 \right)} - 3$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $10$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{x}{x + 1} + \log{\left(x + 1 \right)} - \frac{3}{10}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x + \frac{\left(x + 1\right) \left(10 \log{\left(x + 1 \right)} - 3\right)}{10}}{x + 1}$

Respuesta:

$\frac{x + \frac{\left(x + 1\right) \left(10 \log{\left(x + 1 \right)} - 3\right)}{10}}{x + 1}$