Derivada de y=(log2(x+4))ctg(7·x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \log{\left(x + 4 \right)} \cot{\left(7 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \log{\left(2 \right)}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \cot{\left(7 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

         Method #1

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\cot{\left(7 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(7 x \right)}}$

         2. Sustituimos $u = \tan{\left(7 x \right)}$.

         3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

         4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(7 x \right)}$:

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

               $\tan{\left(7 x \right)} = \frac{\sin{\left(7 x \right)}}{\cos{\left(7 x \right)}}$

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = \sin{\left(7 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(7 x \right)}$.

               Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Sustituimos $u = 7 x$.

               2. La derivada del seno es igual al coseno:

                  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 7 x$:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $7$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $7 \cos{\left(7 x \right)}$

               Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. Sustituimos $u = 7 x$.

               2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 7 x$:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $7$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $- 7 \sin{\left(7 x \right)}$

               Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

               $\frac{7 \sin^{2}{\left(7 x \right)} + 7 \cos^{2}{\left(7 x \right)}}{\cos^{2}{\left(7 x \right)}}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \frac{7 \sin^{2}{\left(7 x \right)} + 7 \cos^{2}{\left(7 x \right)}}{\cos^{2}{\left(7 x \right)} \tan^{2}{\left(7 x \right)}}$

         Method #2

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\cot{\left(7 x \right)} = \frac{\cos{\left(7 x \right)}}{\sin{\left(7 x \right)}}$

         2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \cos{\left(7 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(7 x \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 7 x$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 7 x$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $7$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- 7 \sin{\left(7 x \right)}$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 7 x$.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 7 x$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $7$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $7 \cos{\left(7 x \right)}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{- 7 \sin^{2}{\left(7 x \right)} - 7 \cos^{2}{\left(7 x \right)}}{\sin^{2}{\left(7 x \right)}}$

      $g{\left(x \right)} = \log{\left(x + 4 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = x + 4$.

      2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 4\right)$:

         1. diferenciamos $x + 4$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{1}{x + 4}$

      Como resultado de: $- \frac{\left(7 \sin^{2}{\left(7 x \right)} + 7 \cos^{2}{\left(7 x \right)}\right) \log{\left(x + 4 \right)}}{\cos^{2}{\left(7 x \right)} \tan^{2}{\left(7 x \right)}} + \frac{\cot{\left(7 x \right)}}{x + 4}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $\log{\left(2 \right)}$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{\left(7 \sin^{2}{\left(7 x \right)} + 7 \cos^{2}{\left(7 x \right)}\right) \log{\left(x + 4 \right)}}{\cos^{2}{\left(7 x \right)} \tan^{2}{\left(7 x \right)}} + \frac{\cot{\left(7 x \right)}}{x + 4}}{\log{\left(2 \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{- 14 x \log{\left(x + 4 \right)} - 56 \log{\left(x + 4 \right)} + \sin{\left(14 x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(14 x \right)}\right) \left(x + 4\right) \log{\left(2 \right)}}$

Respuesta:

$\frac{- 14 x \log{\left(x + 4 \right)} - 56 \log{\left(x + 4 \right)} + \sin{\left(14 x \right)}}{\left(1 - \cos{\left(14 x \right)}\right) \left(x + 4\right) \log{\left(2 \right)}}$