Sr Examen

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y=3√x-1/2•sin4•x+1/3•ctg•x
Derivada de la función/ y=3√x/ y=3√x-1/2•sin4•x+1/3•ctg•x

Derivada de y=3√x-1/2•sin4•x+1/3•ctg•x

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
    ___   sin(4*x)   cot(x)
3*\/ x  - -------- + ------
             2         3
(3x−sin⁡(4x)2)+cot⁡(x)3\left(3 \sqrt{x} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2}\right) + \frac{\cot{\left(x \right)}}{3} 
3*sqrt(x) - sin(4*x)/2 + cot(x)/3
Solución detallada

  1. diferenciamos (3x−sin⁡(4x)2)+cot⁡(x)3\left(3 \sqrt{x} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2}\right) + \frac{\cot{\left(x \right)}}{3} miembro por miembro:

    1. diferenciamos 3x−sin⁡(4x)23 \sqrt{x} - \frac{\sin{\left(4 x \right)}}{2} miembro por miembro:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Según el principio, aplicamos: x\sqrt{x} tenemos 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

        Entonces, como resultado: 32x\frac{3}{2 \sqrt{x}}

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Sustituimos u=4xu = 4 x.

        2. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddx4x\frac{d}{d x} 4 x:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 44

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          4cos⁡(4x)4 \cos{\left(4 x \right)}

        Entonces, como resultado: −2cos⁡(4x)- 2 \cos{\left(4 x \right)}

      Como resultado de: −2cos⁡(4x)+32x- 2 \cos{\left(4 x \right)} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}

    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

        Method #1

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

        2. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

        3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

        4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

        Method #2

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          −sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

      Entonces, como resultado: −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)3cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{3 \cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

    Como resultado de: −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)3cos⁡2(x)tan⁡2(x)−2cos⁡(4x)+32x- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{3 \cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - 2 \cos{\left(4 x \right)} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}

  2. Simplificamos:

    −16sin⁡4(x)+16sin⁡2(x)−73−13tan⁡2(x)+32x- 16 \sin^{4}{\left(x \right)} + 16 \sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{7}{3} - \frac{1}{3 \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}

Respuesta:

−16sin⁡4(x)+16sin⁡2(x)−73−13tan⁡2(x)+32x- 16 \sin^{4}{\left(x \right)} + 16 \sin^{2}{\left(x \right)} - \frac{7}{3} - \frac{1}{3 \tan^{2}{\left(x \right)}} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-50005000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                      2             
  1                cot (x)      3   
- - - 2*cos(4*x) - ------- + -------
  3                   3          ___
                             2*\/ x
−2cos⁡(4x)−cot⁡2(x)3−13+32x- 2 \cos{\left(4 x \right)} - \frac{\cot^{2}{\left(x \right)}}{3} - \frac{1}{3} + \frac{3}{2 \sqrt{x}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                        /       2   \       
               3      2*\1 + cot (x)/*cot(x)
8*sin(4*x) - ------ + ----------------------
                3/2             3           
             4*x
2(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)3+8sin⁡(4x)−34x32\frac{2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)}}{3} + 8 \sin{\left(4 x \right)} - \frac{3}{4 x^{\frac{3}{2}}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                             2                                   
                /       2   \                  2    /       2   \
              2*\1 + cot (x)/      9      4*cot (x)*\1 + cot (x)/
32*cos(4*x) - ---------------- + ------ - -----------------------
                     3              5/2              3           
                                 8*x
−2(cot⁡2(x)+1)23−4(cot⁡2(x)+1)cot⁡2(x)3+32cos⁡(4x)+98x52- \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2}}{3} - \frac{4 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)}}{3} + 32 \cos{\left(4 x \right)} + \frac{9}{8 x^{\frac{5}{2}}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=3√x-1/2•sin4•x+1/3•ctg•x
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