Derivada de y=(sin12x)/(5x)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sin{\left(12 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = 5 x$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 12 x$.

   2. La derivada del seno es igual al coseno:

      $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 12 x$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $12$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $12 \cos{\left(12 x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $5$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{60 x \cos{\left(12 x \right)} - 5 \sin{\left(12 x \right)}}{25 x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{12 x \cos{\left(12 x \right)} - \sin{\left(12 x \right)}}{5 x^{2}}$

Respuesta:

$\frac{12 x \cos{\left(12 x \right)} - \sin{\left(12 x \right)}}{5 x^{2}}$