Derivada de x*exp^(4sin(3x))

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = e^{4 \sin{\left(3 x \right)}}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 4 \sin{\left(3 x \right)}$.

   2. Derivado $e^{u}$ es.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 4 \sin{\left(3 x \right)}$:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Sustituimos $u = 3 x$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $3$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $3 \cos{\left(3 x \right)}$

         Entonces, como resultado: $12 \cos{\left(3 x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $12 e^{4 \sin{\left(3 x \right)}} \cos{\left(3 x \right)}$

   Como resultado de: $12 x e^{4 \sin{\left(3 x \right)}} \cos{\left(3 x \right)} + e^{4 \sin{\left(3 x \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\left(12 x \cos{\left(3 x \right)} + 1\right) e^{4 \sin{\left(3 x \right)}}$

Respuesta:

$\left(12 x \cos{\left(3 x \right)} + 1\right) e^{4 \sin{\left(3 x \right)}}$