Derivada de x*ln(sqrt(x^3-x))

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \log{\left(\sqrt{x^{3} - x} \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sqrt{x^{3} - x}$.

   2. Derivado $\log{\left(u \right)}$ es $\frac{1}{u}$.

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sqrt{x^{3} - x}$:

      1. Sustituimos $u = x^{3} - x$.

      2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x^{3} - x\right)$:

         1. diferenciamos $x^{3} - x$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

            2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $-1$

            Como resultado de: $3 x^{2} - 1$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $\frac{3 x^{2} - 1}{2 \sqrt{x^{3} - x}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{3 x^{2} - 1}{2 \left(x^{3} - x\right)}$

   Como resultado de: $\frac{x \left(3 x^{2} - 1\right)}{2 \left(x^{3} - x\right)} + \log{\left(\sqrt{x^{3} - x} \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{2} \log{\left(x^{3} - x \right)} + 3 x^{2} - \log{\left(x^{3} - x \right)} - 1}{2 x^{2} - 2}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \log{\left(x^{3} - x \right)} + 3 x^{2} - \log{\left(x^{3} - x \right)} - 1}{2 x^{2} - 2}$