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y=e^cosxlnx/(2x)^1/2+1

Derivada de y=e^cosxlnx/(2x)^1/2+1

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
 cos(x)           
E      *log(x)    
-------------- + 1
     _____        
   \/ 2*x         
1+ecos(x)log(x)2x1 + \frac{e^{\cos{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)}}{\sqrt{2 x}}
(E^cos(x)*log(x))/sqrt(2*x) + 1
Solución detallada
  1. diferenciamos 1+ecos(x)log(x)2x1 + \frac{e^{\cos{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)}}{\sqrt{2 x}} miembro por miembro:

    1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

      f(x)=ecos(x)log(x)f{\left(x \right)} = e^{\cos{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)} y g(x)=2xg{\left(x \right)} = \sqrt{2} \sqrt{x}.

      Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

        f(x)=ecos(x)f{\left(x \right)} = e^{\cos{\left(x \right)}}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Sustituimos u=cos(x)u = \cos{\left(x \right)}.

        2. Derivado eue^{u} es.

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcos(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          ecos(x)sin(x)- e^{\cos{\left(x \right)}} \sin{\left(x \right)}

        g(x)=log(x)g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Derivado log(x)\log{\left(x \right)} es 1x\frac{1}{x}.

        Como resultado de: ecos(x)log(x)sin(x)+ecos(x)x- e^{\cos{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \frac{e^{\cos{\left(x \right)}}}{x}

      Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Según el principio, aplicamos: x\sqrt{x} tenemos 12x\frac{1}{2 \sqrt{x}}

        Entonces, como resultado: 22x\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x}}

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      2x(ecos(x)log(x)sin(x)+ecos(x)x)2ecos(x)log(x)2x2x\frac{\sqrt{2} \sqrt{x} \left(- e^{\cos{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \frac{e^{\cos{\left(x \right)}}}{x}\right) - \frac{\sqrt{2} e^{\cos{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}}{2 x}

    2. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

    Como resultado de: 2x(ecos(x)log(x)sin(x)+ecos(x)x)2ecos(x)log(x)2x2x\frac{\sqrt{2} \sqrt{x} \left(- e^{\cos{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \frac{e^{\cos{\left(x \right)}}}{x}\right) - \frac{\sqrt{2} e^{\cos{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}}}{2 x}

  2. Simplificamos:

    2(2xlog(x)sin(x)log(x)+2)ecos(x)4x32\frac{\sqrt{2} \left(- 2 x \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \log{\left(x \right)} + 2\right) e^{\cos{\left(x \right)}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}


Respuesta:

2(2xlog(x)sin(x)log(x)+2)ecos(x)4x32\frac{\sqrt{2} \left(- 2 x \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \log{\left(x \right)} + 2\right) e^{\cos{\left(x \right)}}}{4 x^{\frac{3}{2}}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-200200
Primera derivada [src]
   ___  / cos(x)                        \     ___  cos(x)       
 \/ 2   |e          cos(x)              |   \/ 2 *e      *log(x)
-------*|------- - e      *log(x)*sin(x)| - --------------------
    ___ \   x                           /             3/2       
2*\/ x                                             4*x          
22x(ecos(x)log(x)sin(x)+ecos(x)x)2ecos(x)log(x)4x32\frac{\sqrt{2}}{2 \sqrt{x}} \left(- e^{\cos{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \frac{e^{\cos{\left(x \right)}}}{x}\right) - \frac{\sqrt{2} e^{\cos{\left(x \right)}} \log{\left(x \right)}}{4 x^{\frac{3}{2}}}
Segunda derivada [src]
      /                                      /  1                \                                                \        
      |                                    2*|- - + log(x)*sin(x)|                                                |        
  ___ |  6    8*sin(x)                       \  x                /   3*log(x)        2             2*log(x)*sin(x)|  cos(x)
\/ 2 *|- -- - -------- - 4*cos(x)*log(x) + ----------------------- + -------- + 4*sin (x)*log(x) + ---------------|*e      
      |   2      x                                    x                  2                                x       |        
      \  x                                                              x                                         /        
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                              ___                                                          
                                                          8*\/ x                                                           
2(4log(x)sin2(x)4log(x)cos(x)+2(log(x)sin(x)1x)x+2log(x)sin(x)x8sin(x)x+3log(x)x26x2)ecos(x)8x\frac{\sqrt{2} \left(4 \log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} - 4 \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{x}\right)}{x} + \frac{2 \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}}{x} - \frac{8 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{3 \log{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{6}{x^{2}}\right) e^{\cos{\left(x \right)}}}{8 \sqrt{x}}
Tercera derivada [src]
      /     1                       2             2*sin(x)                                                                                                                                                                                     \        
      |     -- + cos(x)*log(x) - sin (x)*log(x) + --------                                                       /  1                \                                                                                                         |        
      |      2                                       x                                                         3*|- - + log(x)*sin(x)|      3                  2                           2                                                   |        
  ___ |2    x                                                log(x)*sin(x)   2*sin(x)   15*log(x)   3*cos(x)     \  x                /   sin (x)*log(x)   3*sin (x)   3*log(x)*sin(x)   sin (x)*log(x)   cos(x)*log(x)   3*cos(x)*log(x)*sin(x)|  cos(x)
\/ 2 *|-- + ---------------------------------------------- + ------------- + -------- - --------- - -------- - ----------------------- - -------------- + --------- - --------------- - -------------- + ------------- + ----------------------|*e      
      | 3                        2*x                               2             2            3       2*x                   2                  2             2*x               2             4*x              4*x                  2           |        
      \x                                                                        x         16*x                           8*x                                                4*x                                                                /        
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                           ___                                                                                                                          
                                                                                                                         \/ x                                                                                                                           
2(log(x)sin3(x)2+3log(x)sin(x)cos(x)2+log(x)sin(x)2+log(x)sin2(x)+log(x)cos(x)+2sin(x)x+1x22xlog(x)sin2(x)4x+log(x)cos(x)4x+3sin2(x)2x3cos(x)2x3(log(x)sin(x)1x)8x23log(x)sin(x)4x2+2sin(x)x215log(x)16x3+2x3)ecos(x)x\frac{\sqrt{2} \left(- \frac{\log{\left(x \right)} \sin^{3}{\left(x \right)}}{2} + \frac{3 \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{\log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{- \log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x} + \frac{1}{x^{2}}}{2 x} - \frac{\log{\left(x \right)} \sin^{2}{\left(x \right)}}{4 x} + \frac{\log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{4 x} + \frac{3 \sin^{2}{\left(x \right)}}{2 x} - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{2 x} - \frac{3 \left(\log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} - \frac{1}{x}\right)}{8 x^{2}} - \frac{3 \log{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}}{4 x^{2}} + \frac{2 \sin{\left(x \right)}}{x^{2}} - \frac{15 \log{\left(x \right)}}{16 x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}\right) e^{\cos{\left(x \right)}}}{\sqrt{x}}
Gráfico
Derivada de y=e^cosxlnx/(2x)^1/2+1