Derivada de y=2^xsin^2x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = 2^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. $\frac{d}{d x} 2^{x} = 2^{x} \log{\left(2 \right)}$

   $g{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)}$:

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $2^{x} \log{\left(2 \right)} \sin^{2}{\left(x \right)} + 2 \cdot 2^{x} \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $2^{x} \left(\sin{\left(2 x \right)} - \frac{\log{\left(2 \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{2}\right)$

Respuesta:

$2^{x} \left(\sin{\left(2 x \right)} - \frac{\log{\left(2 \right)} \cos{\left(2 x \right)}}{2} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{2}\right)$