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y=ctgx/x^2
Derivada de la función/ tgx/x/ x/x^2/ y=ctg/ y=ctgx/x^2

Derivada de y=ctgx/x^2

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
cot(x)
------
   2  
  x
cot⁡(x)x2\frac{\cot{\left(x \right)}}{x^{2}} 
cot(x)/x^2
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

    f(x)=cot⁡(x)f{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} y g(x)=x2g{\left(x \right)} = x^{2}.

    Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

      Method #1

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

      2. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

      3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

      Method #2

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        −sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

    Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    −x2(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cos⁡2(x)tan⁡2(x)−2xcot⁡(x)x4\frac{- \frac{x^{2} \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - 2 x \cot{\left(x \right)}}{x^{4}}

  2. Simplificamos:

    2x+2sin⁡(2x)x3(cos⁡(2x)−1)\frac{2 x + 2 \sin{\left(2 x \right)}}{x^{3} \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}

Respuesta:

2x+2sin⁡(2x)x3(cos⁡(2x)−1)\frac{2 x + 2 \sin{\left(2 x \right)}}{x^{3} \left(\cos{\left(2 x \right)} - 1\right)}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5000050000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
        2              
-1 - cot (x)   2*cot(x)
------------ - --------
      2            3   
     x            x
−cot⁡2(x)−1x2−2cot⁡(x)x3\frac{- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1}{x^{2}} - \frac{2 \cot{\left(x \right)}}{x^{3}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /                         /       2   \           \
  |/       2   \          2*\1 + cot (x)/   3*cot(x)|
2*|\1 + cot (x)/*cot(x) + --------------- + --------|
  |                              x              2   |
  \                                            x    /
-----------------------------------------------------
                           2                         
                          x
2((cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)+2(cot⁡2(x)+1)x+3cot⁡(x)x2)x2\frac{2 \left(\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + \frac{2 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{x} + \frac{3 \cot{\left(x \right)}}{x^{2}}\right)}{x^{2}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
   /                                  /       2   \                 /       2   \       \
   |/       2   \ /         2   \   9*\1 + cot (x)/   12*cot(x)   6*\1 + cot (x)/*cot(x)|
-2*|\1 + cot (x)/*\1 + 3*cot (x)/ + --------------- + --------- + ----------------------|
   |                                        2              3                x           |
   \                                       x              x                             /
-----------------------------------------------------------------------------------------
                                             2                                           
                                            x
−2((cot⁡2(x)+1)(3cot⁡2(x)+1)+6(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)x+9(cot⁡2(x)+1)x2+12cot⁡(x)x3)x2- \frac{2 \left(\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)}}{x} + \frac{9 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{x^{2}} + \frac{12 \cot{\left(x \right)}}{x^{3}}\right)}{x^{2}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=ctgx/x^2
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