Derivada de √(x)/√(x+1)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = \sqrt{x}$ y $g{\left(x \right)} = \sqrt{x + 1}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{x}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x + 1$.

   2. Según el principio, aplicamos: $\sqrt{u}$ tenemos $\frac{1}{2 \sqrt{u}}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 1\right)$:

      1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{1}{2 \sqrt{x + 1}}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- \frac{\sqrt{x}}{2 \sqrt{x + 1}} + \frac{\sqrt{x + 1}}{2 \sqrt{x}}}{x + 1}$

2. Simplificamos:

   $\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$

Respuesta:

$\frac{1}{2 \sqrt{x} \left(x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}$