Derivada de y=x^4*sin7x^5

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x^{4}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{4}$ tenemos $4 x^{3}$

   $g{\left(x \right)} = \sin^{5}{\left(7 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(7 x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{5}$ tenemos $5 u^{4}$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(7 x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 7 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 7 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $7$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $7 \cos{\left(7 x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $35 \sin^{4}{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}$

   Como resultado de: $35 x^{4} \sin^{4}{\left(7 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} + 4 x^{3} \sin^{5}{\left(7 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $x^{3} \left(35 x \cos{\left(7 x \right)} + 4 \sin{\left(7 x \right)}\right) \sin^{4}{\left(7 x \right)}$

Respuesta:

$x^{3} \left(35 x \cos{\left(7 x \right)} + 4 \sin{\left(7 x \right)}\right) \sin^{4}{\left(7 x \right)}$