Derivada de x*tan(x-1)^(2)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

   $g{\left(x \right)} = \tan^{2}{\left(x - 1 \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \tan{\left(x - 1 \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x - 1 \right)}$:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(x - 1 \right)} = \frac{\sin{\left(x - 1 \right)}}{\cos{\left(x - 1 \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x - 1 \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x - 1 \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = x - 1$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)$:

            1. diferenciamos $x - 1$ miembro por miembro:

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

               Como resultado de: $1$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $\cos{\left(x - 1 \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = x - 1$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x - 1\right)$:

            1. diferenciamos $x - 1$ miembro por miembro:

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

               Como resultado de: $1$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \sin{\left(x - 1 \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{\sin^{2}{\left(x - 1 \right)} + \cos^{2}{\left(x - 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(x - 1 \right)}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2 \left(\sin^{2}{\left(x - 1 \right)} + \cos^{2}{\left(x - 1 \right)}\right) \tan{\left(x - 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(x - 1 \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{2 x \left(\sin^{2}{\left(x - 1 \right)} + \cos^{2}{\left(x - 1 \right)}\right) \tan{\left(x - 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(x - 1 \right)}} + \tan^{2}{\left(x - 1 \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 x \tan{\left(x - 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(x - 1 \right)}} + \tan^{2}{\left(x - 1 \right)}$

Respuesta:

$\frac{2 x \tan{\left(x - 1 \right)}}{\cos^{2}{\left(x - 1 \right)}} + \tan^{2}{\left(x - 1 \right)}$