Sr Examen

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(z-i)^2/((z^2+1)^2*(z-3))
Derivada de la función/ z^2+1/ (z-i)/ (z-i)^2/((z^2+1)^2*(z-3))

Derivada de (z-i)^2/((z^2+1)^2*(z-3))

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
            2    
     (z - I)     
-----------------
        2        
/ 2    \         
\z  + 1/ *(z - 3)
(z−i)2(z−3)(z2+1)2\frac{\left(z - i\right)^{2}}{\left(z - 3\right) \left(z^{2} + 1\right)^{2}} 
(z - i)^2/(((z^2 + 1)^2*(z - 3)))
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddzf(z)g(z)=−f(z)ddzg(z)+g(z)ddzf(z)g2(z)\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}

    f(z)=(z−i)2f{\left(z \right)} = \left(z - i\right)^{2} y g(z)=(z−3)(z2+1)2g{\left(z \right)} = \left(z - 3\right) \left(z^{2} + 1\right)^{2}.

    Para calcular ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}:

    1. Sustituimos u=z−iu = z - i.

    2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddz(z−i)\frac{d}{d z} \left(z - i\right):

      1. diferenciamos z−iz - i miembro por miembro:

        1. Según el principio, aplicamos: zz tenemos 11

        2. La derivada de una constante −i- i es igual a cero.

        Como resultado de: 11

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      2z−2i2 z - 2 i

    Para calcular ddzg(z)\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddzf(z)g(z)=f(z)ddzg(z)+g(z)ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} g{\left(z \right)} = f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}

      f(z)=(z2+1)2f{\left(z \right)} = \left(z^{2} + 1\right)^{2}; calculamos ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}:

      1. Sustituimos u=z2+1u = z^{2} + 1.

      2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddz(z2+1)\frac{d}{d z} \left(z^{2} + 1\right):

        1. diferenciamos z2+1z^{2} + 1 miembro por miembro:

          1. La derivada de una constante 11 es igual a cero.

          2. Según el principio, aplicamos: z2z^{2} tenemos 2z2 z

          Como resultado de: 2z2 z

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        2z(2z2+2)2 z \left(2 z^{2} + 2\right)

      g(z)=z−3g{\left(z \right)} = z - 3; calculamos ddzg(z)\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}:

      1. diferenciamos z−3z - 3 miembro por miembro:

        1. La derivada de una constante −3-3 es igual a cero.

        2. Según el principio, aplicamos: zz tenemos 11

        Como resultado de: 11

      Como resultado de: 2z(z−3)(2z2+2)+(z2+1)22 z \left(z - 3\right) \left(2 z^{2} + 2\right) + \left(z^{2} + 1\right)^{2}

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    (z−3)(2z−2i)(z2+1)2−(z−i)2(2z(z−3)(2z2+2)+(z2+1)2)(z−3)2(z2+1)4\frac{\left(z - 3\right) \left(2 z - 2 i\right) \left(z^{2} + 1\right)^{2} - \left(z - i\right)^{2} \left(2 z \left(z - 3\right) \left(2 z^{2} + 2\right) + \left(z^{2} + 1\right)^{2}\right)}{\left(z - 3\right)^{2} \left(z^{2} + 1\right)^{4}}

  2. Simplificamos:

    (z−i)(2(z−3)(z2+1)−(z−i)(z2+4z(z−3)+1))(z−3)2(z2+1)3\frac{\left(z - i\right) \left(2 \left(z - 3\right) \left(z^{2} + 1\right) - \left(z - i\right) \left(z^{2} + 4 z \left(z - 3\right) + 1\right)\right)}{\left(z - 3\right)^{2} \left(z^{2} + 1\right)^{3}}

Respuesta:

(z−i)(2(z−3)(z2+1)−(z−i)(z2+4z(z−3)+1))(z−3)2(z2+1)3\frac{\left(z - i\right) \left(2 \left(z - 3\right) \left(z^{2} + 1\right) - \left(z - i\right) \left(z^{2} + 4 z \left(z - 3\right) + 1\right)\right)}{\left(z - 3\right)^{2} \left(z^{2} + 1\right)^{3}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                                          /          2                       \
                                        2 |  / 2    \                / 2    \|
        1                        (z - I) *\- \z  + 1/  - 4*z*(z - 3)*\z  + 1//
-----------------*(-2*I + 2*z) + ---------------------------------------------
                2                                               4             
        / 2    \                                      2 / 2    \              
(z - 3)*\z  + 1/                               (z - 3) *\z  + 1/
1(z−3)(z2+1)2(2z−2i)+(z−i)2(−4z(z−3)(z2+1)−(z2+1)2)(z−3)2(z2+1)4\frac{1}{\left(z - 3\right) \left(z^{2} + 1\right)^{2}} \left(2 z - 2 i\right) + \frac{\left(z - i\right)^{2} \left(- 4 z \left(z - 3\right) \left(z^{2} + 1\right) - \left(z^{2} + 1\right)^{2}\right)}{\left(z - 3\right)^{2} \left(z^{2} + 1\right)^{4}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
             /     2                                                                //     2\                /     2\      2         \       /     2               \\                                    
           2 |1 + z  + 4*z*(-3 + z)   /  1       4*z  \ /     2               \   4*\\1 + z /*(-3 + z) + 2*z*\1 + z / + 2*z *(-3 + z)/   4*z*\1 + z  + 4*z*(-3 + z)/|                                    
    (z - I) *|--------------------- + |------ + ------|*\1 + z  + 4*z*(-3 + z)/ - ---------------------------------------------------- + ---------------------------|                                    
             |        -3 + z          |-3 + z        2|                                                       2                                          2          |             /     2               \
             \                        \         1 + z /                                                  1 + z                                      1 + z           /   4*(z - I)*\1 + z  + 4*z*(-3 + z)/
2 + ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- - ---------------------------------
                                                                            /     2\                                                                                            /     2\                 
                                                                            \1 + z /*(-3 + z)                                                                                   \1 + z /*(-3 + z)        
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                    2                                                                                                    
                                                                                            /     2\                                                                                                     
                                                                                            \1 + z / *(-3 + z)
2+(z−i)2(4z(z2+4z(z−3)+1)z2+1+(4zz2+1+1z−3)(z2+4z(z−3)+1)−4(2z2(z−3)+2z(z2+1)+(z−3)(z2+1))z2+1+z2+4z(z−3)+1z−3)(z−3)(z2+1)−4(z−i)(z2+4z(z−3)+1)(z−3)(z2+1)(z−3)(z2+1)2\frac{2 + \frac{\left(z - i\right)^{2} \left(\frac{4 z \left(z^{2} + 4 z \left(z - 3\right) + 1\right)}{z^{2} + 1} + \left(\frac{4 z}{z^{2} + 1} + \frac{1}{z - 3}\right) \left(z^{2} + 4 z \left(z - 3\right) + 1\right) - \frac{4 \left(2 z^{2} \left(z - 3\right) + 2 z \left(z^{2} + 1\right) + \left(z - 3\right) \left(z^{2} + 1\right)\right)}{z^{2} + 1} + \frac{z^{2} + 4 z \left(z - 3\right) + 1}{z - 3}\right)}{\left(z - 3\right) \left(z^{2} + 1\right)} - \frac{4 \left(z - i\right) \left(z^{2} + 4 z \left(z - 3\right) + 1\right)}{\left(z - 3\right) \left(z^{2} + 1\right)}}{\left(z - 3\right) \left(z^{2} + 1\right)^{2}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                     /                                                                                                                                                                          /  1       4*z  \ /     2               \                                                                                                                       /  1       4*z  \ //     2\                /     2\      2         \                                       /  1       4*z  \ /     2               \                               \                                                                                                                                                                                     
                     |                                                                                                                                                                          |------ + ------|*\1 + z  + 4*z*(-3 + z)/                                                                                                                     4*|------ + ------|*\\1 + z /*(-3 + z) + 2*z*\1 + z / + 2*z *(-3 + z)/                                   4*z*|------ + ------|*\1 + z  + 4*z*(-3 + z)/                               |                                                                                                                                                                                     
                     |    /     2               \                             /                           2                      \     /     2               \      /       2               \   |-3 + z        2|                                //     2\                /     2\      2         \      //     2\                /     2\      2         \     |-3 + z        2|                                                          2 /     2               \       |-3 + z        2|                                /     2               \|                             /     2                                                                //     2\                /     2\      2         \       /     2               \\
        2          2 |  4*\1 + z  + 4*z*(-3 + z)/     /     2               \ |    1         2        12*z             4*z       |   3*\1 + z  + 4*z*(-3 + z)/   12*\1 + 3*z  + 2*z*(-3 + z)/   \         1 + z /                           48*z*\\1 + z /*(-3 + z) + 2*z*\1 + z / + 2*z *(-3 + z)/   12*\\1 + z /*(-3 + z) + 2*z*\1 + z / + 2*z *(-3 + z)/     \         1 + z /                                                      40*z *\1 + z  + 4*z*(-3 + z)/       \         1 + z /                           16*z*\1 + z  + 4*z*(-3 + z)/|                             |1 + z  + 4*z*(-3 + z)   /  1       4*z  \ /     2               \   4*\\1 + z /*(-3 + z) + 2*z*\1 + z / + 2*z *(-3 + z)/   4*z*\1 + z  + 4*z*(-3 + z)/|
-6 - 6*z  - (z - I) *|- ------------------------- + 2*\1 + z  + 4*z*(-3 + z)/*|--------- - ------ + --------- + -----------------| + ------------------------- + ---------------------------- + ----------------------------------------- - ------------------------------------------------------- - ----------------------------------------------------- - ---------------------------------------------------------------------- + ----------------------------- + --------------------------------------------- + ----------------------------| - 24*z*(-3 + z) + 6*(z - I)*|--------------------- + |------ + ------|*\1 + z  + 4*z*(-3 + z)/ - ---------------------------------------------------- + ---------------------------|
                     |                 2                                      |        2        2           2   /     2\         |                   2                           2                                -3 + z                                                   2                                            /     2\                                                                   2                                                     2                                      2                           /     2\               |                             |        -3 + z          |-3 + z        2|                                                       2                                          2          |
                     |            1 + z                                       |(-3 + z)    1 + z    /     2\    \1 + z /*(-3 + z)|           (-3 + z)                       1 + z                                                                                  /     2\                                             \1 + z /*(-3 + z)                                                     1 + z                                              /     2\                                  1 + z                            \1 + z /*(-3 + z)      |                             \                        \         1 + z /                                                  1 + z                                      1 + z           /
                     \                                                        \                     \1 + z /                     /                                                                                                                                 \1 + z /                                                                                                                                                                      \1 + z /                                                                                          /                                                                                                                                                                                     
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                   3                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           /     2\          2                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           
                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                           \1 + z / *(-3 + z)
−6z2−24z(z−3)−(z−i)2(40z2(z2+4z(z−3)+1)(z2+1)2+4z(4zz2+1+1z−3)(z2+4z(z−3)+1)z2+1−48z(2z2(z−3)+2z(z2+1)+(z−3)(z2+1))(z2+1)2+16z(z2+4z(z−3)+1)(z−3)(z2+1)+2(z2+4z(z−3)+1)(12z2(z2+1)2+4z(z−3)(z2+1)−2z2+1+1(z−3)2)−4(4zz2+1+1z−3)(2z2(z−3)+2z(z2+1)+(z−3)(z2+1))z2+1−4(z2+4z(z−3)+1)z2+1+12(3z2+2z(z−3)+1)z2+1+(4zz2+1+1z−3)(z2+4z(z−3)+1)z−3−12(2z2(z−3)+2z(z2+1)+(z−3)(z2+1))(z−3)(z2+1)+3(z2+4z(z−3)+1)(z−3)2)+6(z−i)(4z(z2+4z(z−3)+1)z2+1+(4zz2+1+1z−3)(z2+4z(z−3)+1)−4(2z2(z−3)+2z(z2+1)+(z−3)(z2+1))z2+1+z2+4z(z−3)+1z−3)−6(z−3)2(z2+1)3\frac{- 6 z^{2} - 24 z \left(z - 3\right) - \left(z - i\right)^{2} \left(\frac{40 z^{2} \left(z^{2} + 4 z \left(z - 3\right) + 1\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{4 z \left(\frac{4 z}{z^{2} + 1} + \frac{1}{z - 3}\right) \left(z^{2} + 4 z \left(z - 3\right) + 1\right)}{z^{2} + 1} - \frac{48 z \left(2 z^{2} \left(z - 3\right) + 2 z \left(z^{2} + 1\right) + \left(z - 3\right) \left(z^{2} + 1\right)\right)}{\left(z^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{16 z \left(z^{2} + 4 z \left(z - 3\right) + 1\right)}{\left(z - 3\right) \left(z^{2} + 1\right)} + 2 \left(z^{2} + 4 z \left(z - 3\right) + 1\right) \left(\frac{12 z^{2}}{\left(z^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{4 z}{\left(z - 3\right) \left(z^{2} + 1\right)} - \frac{2}{z^{2} + 1} + \frac{1}{\left(z - 3\right)^{2}}\right) - \frac{4 \left(\frac{4 z}{z^{2} + 1} + \frac{1}{z - 3}\right) \left(2 z^{2} \left(z - 3\right) + 2 z \left(z^{2} + 1\right) + \left(z - 3\right) \left(z^{2} + 1\right)\right)}{z^{2} + 1} - \frac{4 \left(z^{2} + 4 z \left(z - 3\right) + 1\right)}{z^{2} + 1} + \frac{12 \left(3 z^{2} + 2 z \left(z - 3\right) + 1\right)}{z^{2} + 1} + \frac{\left(\frac{4 z}{z^{2} + 1} + \frac{1}{z - 3}\right) \left(z^{2} + 4 z \left(z - 3\right) + 1\right)}{z - 3} - \frac{12 \left(2 z^{2} \left(z - 3\right) + 2 z \left(z^{2} + 1\right) + \left(z - 3\right) \left(z^{2} + 1\right)\right)}{\left(z - 3\right) \left(z^{2} + 1\right)} + \frac{3 \left(z^{2} + 4 z \left(z - 3\right) + 1\right)}{\left(z - 3\right)^{2}}\right) + 6 \left(z - i\right) \left(\frac{4 z \left(z^{2} + 4 z \left(z - 3\right) + 1\right)}{z^{2} + 1} + \left(\frac{4 z}{z^{2} + 1} + \frac{1}{z - 3}\right) \left(z^{2} + 4 z \left(z - 3\right) + 1\right) - \frac{4 \left(2 z^{2} \left(z - 3\right) + 2 z \left(z^{2} + 1\right) + \left(z - 3\right) \left(z^{2} + 1\right)\right)}{z^{2} + 1} + \frac{z^{2} + 4 z \left(z - 3\right) + 1}{z - 3}\right) - 6}{\left(z - 3\right)^{2} \left(z^{2} + 1\right)^{3}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de (z-i)^2/((z^2+1)^2*(z-3))
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