Derivada de y=x^3*sin^2(8*x)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x^{3}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $x^{3}$ tenemos $3 x^{2}$

   $g{\left(x \right)} = \sin^{2}{\left(8 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \sin{\left(8 x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \sin{\left(8 x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 8 x$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 8 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $8$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $8 \cos{\left(8 x \right)}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $16 \sin{\left(8 x \right)} \cos{\left(8 x \right)}$

   Como resultado de: $16 x^{3} \sin{\left(8 x \right)} \cos{\left(8 x \right)} + 3 x^{2} \sin^{2}{\left(8 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $x^{2} \left(16 x \cos{\left(8 x \right)} + 3 \sin{\left(8 x \right)}\right) \sin{\left(8 x \right)}$

Respuesta:

$x^{2} \left(16 x \cos{\left(8 x \right)} + 3 \sin{\left(8 x \right)}\right) \sin{\left(8 x \right)}$