Sr Examen

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((z^2)*cos(z))/((z-i)^2)
Derivada de la función/ (z-i)/ ((z^2)*cos(z))/((z-i)^2)

Derivada de ((z^2)*cos(z))/((z-i)^2)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 2       
z *cos(z)
---------
        2
 (z - I)
z2cos⁡(z)(z−i)2\frac{z^{2} \cos{\left(z \right)}}{\left(z - i\right)^{2}} 
(z^2*cos(z))/(z - i)^2
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

    ddzf(z)g(z)=−f(z)ddzg(z)+g(z)ddzf(z)g2(z)\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}

    f(z)=z2cos⁡(z)f{\left(z \right)} = z^{2} \cos{\left(z \right)} y g(z)=(z−i)2g{\left(z \right)} = \left(z - i\right)^{2}.

    Para calcular ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddzf(z)g(z)=f(z)ddzg(z)+g(z)ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} g{\left(z \right)} = f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}

      f(z)=z2f{\left(z \right)} = z^{2}; calculamos ddzf(z)\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: z2z^{2} tenemos 2z2 z

      g(z)=cos⁡(z)g{\left(z \right)} = \cos{\left(z \right)}; calculamos ddzg(z)\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}:

      1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

        ddzcos⁡(z)=−sin⁡(z)\frac{d}{d z} \cos{\left(z \right)} = - \sin{\left(z \right)}

      Como resultado de: −z2sin⁡(z)+2zcos⁡(z)- z^{2} \sin{\left(z \right)} + 2 z \cos{\left(z \right)}

    Para calcular ddzg(z)\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}:

    1. Sustituimos u=z−iu = z - i.

    2. Según el principio, aplicamos: u2u^{2} tenemos 2u2 u

    3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddz(z−i)\frac{d}{d z} \left(z - i\right):

      1. diferenciamos z−iz - i miembro por miembro:

        1. Según el principio, aplicamos: zz tenemos 11

        2. La derivada de una constante −i- i es igual a cero.

        Como resultado de: 11

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      2z−2i2 z - 2 i

    Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

    −z2(2z−2i)cos⁡(z)+(z−i)2(−z2sin⁡(z)+2zcos⁡(z))(z−i)4\frac{- z^{2} \left(2 z - 2 i\right) \cos{\left(z \right)} + \left(z - i\right)^{2} \left(- z^{2} \sin{\left(z \right)} + 2 z \cos{\left(z \right)}\right)}{\left(z - i\right)^{4}}

  2. Simplificamos:

    z(−z2sin⁡(z)+izsin⁡(z)−2icos⁡(z))(z−i)3\frac{z \left(- z^{2} \sin{\left(z \right)} + i z \sin{\left(z \right)} - 2 i \cos{\left(z \right)}\right)}{\left(z - i\right)^{3}}

Respuesta:

z(−z2sin⁡(z)+izsin⁡(z)−2icos⁡(z))(z−i)3\frac{z \left(- z^{2} \sin{\left(z \right)} + i z \sin{\left(z \right)} - 2 i \cos{\left(z \right)}\right)}{\left(z - i\right)^{3}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-10100.02-0.02
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
   2                        2                    
- z *sin(z) + 2*z*cos(z)   z *(-2*z + 2*I)*cos(z)
------------------------ + ----------------------
               2                         4       
        (z - I)                   (z - I)
z2(−2z+2i)cos⁡(z)(z−i)4+−z2sin⁡(z)+2zcos⁡(z)(z−i)2\frac{z^{2} \left(- 2 z + 2 i\right) \cos{\left(z \right)}}{\left(z - i\right)^{4}} + \frac{- z^{2} \sin{\left(z \right)} + 2 z \cos{\left(z \right)}}{\left(z - i\right)^{2}}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
                                                                    2       
            2                       4*z*(-2*cos(z) + z*sin(z))   6*z *cos(z)
2*cos(z) - z *cos(z) - 4*z*sin(z) + -------------------------- + -----------
                                              z - I                       2 
                                                                   (z - I)  
----------------------------------------------------------------------------
                                         2                                  
                                  (z - I)
−z2cos⁡(z)+6z2cos⁡(z)(z−i)2−4zsin⁡(z)+4z(zsin⁡(z)−2cos⁡(z))z−i+2cos⁡(z)(z−i)2\frac{- z^{2} \cos{\left(z \right)} + \frac{6 z^{2} \cos{\left(z \right)}}{\left(z - i\right)^{2}} - 4 z \sin{\left(z \right)} + \frac{4 z \left(z \sin{\left(z \right)} - 2 \cos{\left(z \right)}\right)}{z - i} + 2 \cos{\left(z \right)}}{\left(z - i\right)^{2}}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
                                       /             2                    \       2                                     
             2                       6*\-2*cos(z) + z *cos(z) + 4*z*sin(z)/   24*z *cos(z)   18*z*(-2*cos(z) + z*sin(z))
-6*sin(z) + z *sin(z) - 6*z*cos(z) + -------------------------------------- - ------------ - ---------------------------
                                                     z - I                             3                      2         
                                                                                (z - I)                (z - I)          
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                               2                                                        
                                                        (z - I)
z2sin⁡(z)−24z2cos⁡(z)(z−i)3−6zcos⁡(z)−18z(zsin⁡(z)−2cos⁡(z))(z−i)2−6sin⁡(z)+6(z2cos⁡(z)+4zsin⁡(z)−2cos⁡(z))z−i(z−i)2\frac{z^{2} \sin{\left(z \right)} - \frac{24 z^{2} \cos{\left(z \right)}}{\left(z - i\right)^{3}} - 6 z \cos{\left(z \right)} - \frac{18 z \left(z \sin{\left(z \right)} - 2 \cos{\left(z \right)}\right)}{\left(z - i\right)^{2}} - 6 \sin{\left(z \right)} + \frac{6 \left(z^{2} \cos{\left(z \right)} + 4 z \sin{\left(z \right)} - 2 \cos{\left(z \right)}\right)}{z - i}}{\left(z - i\right)^{2}}
Simplificar
Gráfico
Derivada de ((z^2)*cos(z))/((z-i)^2)
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