Derivada de y*tg(2y)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)} g{\left(y \right)} = f{\left(y \right)} \frac{d}{d y} g{\left(y \right)} + g{\left(y \right)} \frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$

   $f{\left(y \right)} = y$; calculamos $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$:

   1. Según el principio, aplicamos: $y$ tenemos $1$

   $g{\left(y \right)} = \tan{\left(2 y \right)}$; calculamos $\frac{d}{d y} g{\left(y \right)}$:

   1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

      $\tan{\left(2 y \right)} = \frac{\sin{\left(2 y \right)}}{\cos{\left(2 y \right)}}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d y} \frac{f{\left(y \right)}}{g{\left(y \right)}} = \frac{- f{\left(y \right)} \frac{d}{d y} g{\left(y \right)} + g{\left(y \right)} \frac{d}{d y} f{\left(y \right)}}{g^{2}{\left(y \right)}}$

      $f{\left(y \right)} = \sin{\left(2 y \right)}$ y $g{\left(y \right)} = \cos{\left(2 y \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 y$.

      2. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d y} 2 y$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $y$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $2 \cos{\left(2 y \right)}$

      Para calcular $\frac{d}{d y} g{\left(y \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 2 y$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d y} 2 y$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $y$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $2$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 2 \sin{\left(2 y \right)}$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{2 \sin^{2}{\left(2 y \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 y \right)}}{\cos^{2}{\left(2 y \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{y \left(2 \sin^{2}{\left(2 y \right)} + 2 \cos^{2}{\left(2 y \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(2 y \right)}} + \tan{\left(2 y \right)}$

2. Simplificamos:

   $\frac{4 y + \sin{\left(4 y \right)}}{\cos{\left(4 y \right)} + 1}$

Respuesta:

$\frac{4 y + \sin{\left(4 y \right)}}{\cos{\left(4 y \right)} + 1}$