Derivada de y=e^ctgxcos6x

Solución

Ha introducido [src]

 cot(x)         
E      *cos(6*x)

$$e^{\cot{\left(x \right)}} \cos{\left(6 x \right)}$$

E^cot(x)*cos(6*x)

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

$f{\left(x \right)} = e^{\cot{\left(x \right)}}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \cot{\left(x \right)}$ .
2. Derivado $e^{u}$ es.
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cot{\left(x \right)}$ :
  1. Hay varias formas de calcular esta derivada.
    Method #1
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$
    2. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$ .
    3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$
    4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$ :
      
      Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$
      
      Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$
      
      Como resultado de la secuencia de reglas:
      
      $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
    Method #2
    1. Reescribimos las funciones para diferenciar:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
    2. Se aplica la regla de la derivada parcial:
      
      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$
      
      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del coseno es igual a menos el seno:
      
      $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$
      
      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
      
      La derivada del seno es igual al coseno:
      
      $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$
      
      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:
      
      $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{\cot{\left(x \right)}}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$
$g{\left(x \right)} = \cos{\left(6 x \right)}$ ; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$ :
1. Sustituimos $u = 6 x$ .
2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
  
  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 6 x$ :
  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.
    1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$
    Entonces, como resultado: $6$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- 6 \sin{\left(6 x \right)}$
Como resultado de: $- \frac{\left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right) e^{\cot{\left(x \right)}} \cos{\left(6 x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - 6 e^{\cot{\left(x \right)}} \sin{\left(6 x \right)}$
Simplificamos:

$\left(- 12 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) e^{\frac{1}{\tan{\left(x \right)}}}$

Respuesta:

$\left(- 12 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + \frac{2 \sin^{2}{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}} - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right) e^{\frac{1}{\tan{\left(x \right)}}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

     cot(x)            /        2   \           cot(x)
- 6*e      *sin(6*x) + \-1 - cot (x)/*cos(6*x)*e

$$\left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right) e^{\cot{\left(x \right)}} \cos{\left(6 x \right)} - 6 e^{\cot{\left(x \right)}} \sin{\left(6 x \right)}$$

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Segunda derivada [src]

/                  /       2   \            /       2   \ /       2              \         \  cot(x)
\-36*cos(6*x) + 12*\1 + cot (x)/*sin(6*x) + \1 + cot (x)/*\1 + cot (x) + 2*cot(x)/*cos(6*x)/*e

$$\left(\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 2 \cot{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(6 x \right)} + 12 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(6 x \right)} - 36 \cos{\left(6 x \right)}\right) e^{\cot{\left(x \right)}}$$

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Tercera derivada [src]

/                                                          /                 2                                     \                                                              \        
|                   /       2   \            /       2   \ |    /       2   \         2        /       2   \       |               /       2   \ /       2              \         |  cot(x)
\216*sin(6*x) + 108*\1 + cot (x)/*cos(6*x) - \1 + cot (x)/*\2 + \1 + cot (x)/  + 6*cot (x) + 6*\1 + cot (x)/*cot(x)/*cos(6*x) - 18*\1 + cot (x)/*\1 + cot (x) + 2*cot(x)/*sin(6*x)/*e

$$\left(- 18 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 2 \cot{\left(x \right)} + 1\right) \sin{\left(6 x \right)} - \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(\left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 6 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + 6 \cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right) \cos{\left(6 x \right)} + 108 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cos{\left(6 x \right)} + 216 \sin{\left(6 x \right)}\right) e^{\cot{\left(x \right)}}$$

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Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Derivada de y=e^ctgxcos6x

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Method #1

Method #2