Derivada de (x*x+4*x+3)/((x+2)*(x+2))

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x^{2} + 4 x + 3$ y $g{\left(x \right)} = \left(x + 2\right)^{2}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x^{2} + 4 x + 3$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

      3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $4$

      Como resultado de: $2 x + 4$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = x + 2$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 2\right)$:

      1. diferenciamos $x + 2$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 x + 4$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{\left(x + 2\right)^{2} \left(2 x + 4\right) - \left(2 x + 4\right) \left(x^{2} + 4 x + 3\right)}{\left(x + 2\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2}{x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8}$

Respuesta:

$\frac{2}{x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 8}$