Derivada de a*cos(x)+c*sin(x)+(c*x+d)*cos(x)-(a*x+b)*sin(x)

1. diferenciamos $- \left(a x + b\right) \sin{\left(x \right)} + \left(\left(a \cos{\left(x \right)} + c \sin{\left(x \right)}\right) + \left(c x + d\right) \cos{\left(x \right)}\right)$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $\left(a \cos{\left(x \right)} + c \sin{\left(x \right)}\right) + \left(c x + d\right) \cos{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

      1. diferenciamos $a \cos{\left(x \right)} + c \sin{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

            Entonces, como resultado: $- a \sin{\left(x \right)}$

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

            Entonces, como resultado: $c \cos{\left(x \right)}$

         Como resultado de: $- a \sin{\left(x \right)} + c \cos{\left(x \right)}$

      2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = c x + d$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $c x + d$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $c$

            2. La derivada de una constante $d$ es igual a cero.

            Como resultado de: $c$

         $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Como resultado de: $c \cos{\left(x \right)} - \left(c x + d\right) \sin{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $- a \sin{\left(x \right)} + 2 c \cos{\left(x \right)} - \left(c x + d\right) \sin{\left(x \right)}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = a x + b$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $a x + b$ miembro por miembro:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $a$

            2. La derivada de una constante $b$ es igual a cero.

            Como resultado de: $a$

         $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Como resultado de: $a \sin{\left(x \right)} + \left(a x + b\right) \cos{\left(x \right)}$

      Entonces, como resultado: $- a \sin{\left(x \right)} - \left(a x + b\right) \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $- 2 a \sin{\left(x \right)} + 2 c \cos{\left(x \right)} - \left(a x + b\right) \cos{\left(x \right)} - \left(c x + d\right) \sin{\left(x \right)}$

2. Simplificamos:

   $- 2 a \sin{\left(x \right)} + 2 c \cos{\left(x \right)} - \left(a x + b\right) \cos{\left(x \right)} - \left(c x + d\right) \sin{\left(x \right)}$

Respuesta:

$- 2 a \sin{\left(x \right)} + 2 c \cos{\left(x \right)} - \left(a x + b\right) \cos{\left(x \right)} - \left(c x + d\right) \sin{\left(x \right)}$