Derivada de x+sin5xsin3x+cos7xcos3x

1. diferenciamos $\left(x + \sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(5 x \right)}\right) + \cos{\left(3 x \right)} \cos{\left(7 x \right)}$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $x + \sin{\left(3 x \right)} \sin{\left(5 x \right)}$ miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(5 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 5 x$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 5 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $5$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $5 \cos{\left(5 x \right)}$

         $g{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 3 x$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $3$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $3 \cos{\left(3 x \right)}$

         Como resultado de: $5 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + 3 \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}$

      Como resultado de: $5 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} + 3 \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + 1$

   2. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = \cos{\left(7 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 7 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 7 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $7$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 7 \sin{\left(7 x \right)}$

      $g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Sustituimos $u = 3 x$.

      2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

         $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

         1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$

      Como resultado de: $- 3 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} - 7 \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(3 x \right)}$

   Como resultado de: $5 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} - 3 \sin{\left(3 x \right)} \cos{\left(7 x \right)} + 3 \sin{\left(5 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} - 7 \sin{\left(7 x \right)} \cos{\left(3 x \right)} + 1$

2. Simplificamos:

   $- \sin{\left(2 x \right)} - 2 \sin{\left(4 x \right)} + 4 \sin{\left(8 x \right)} - 5 \sin{\left(10 x \right)} + 1$

Respuesta:

$- \sin{\left(2 x \right)} - 2 \sin{\left(4 x \right)} + 4 \sin{\left(8 x \right)} - 5 \sin{\left(10 x \right)} + 1$