Derivada de y=(x+8)^4/4x-1

1. diferenciamos $x \frac{\left(x + 8\right)^{4}}{4} - 1$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = x \left(x + 8\right)^{4}$ y $g{\left(x \right)} = 4$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         $g{\left(x \right)} = \left(x + 8\right)^{4}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = x + 8$.

         2. Según el principio, aplicamos: $u^{4}$ tenemos $4 u^{3}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x + 8\right)$:

            1. diferenciamos $x + 8$ miembro por miembro:

               1. La derivada de una constante $8$ es igual a cero.

               2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Como resultado de: $1$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $4 \left(x + 8\right)^{3}$

         Como resultado de: $4 x \left(x + 8\right)^{3} + \left(x + 8\right)^{4}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $x \left(x + 8\right)^{3} + \frac{\left(x + 8\right)^{4}}{4}$

   2. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

   Como resultado de: $x \left(x + 8\right)^{3} + \frac{\left(x + 8\right)^{4}}{4}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(x + 8\right)^{3} \left(5 x + 8\right)}{4}$

Respuesta:

$\frac{\left(x + 8\right)^{3} \left(5 x + 8\right)}{4}$