Derivada de 4^(-sinx)

1. Sustituimos $u = - \sin{\left(x \right)}$.

2. $\frac{d}{d u} 4^{u} = 4^{u} \log{\left(4 \right)}$

3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(- \sin{\left(x \right)}\right)$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. La derivada del seno es igual al coseno:

         $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

      Entonces, como resultado: $- \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de la secuencia de reglas:

   $- 4^{- \sin{\left(x \right)}} \log{\left(4 \right)} \cos{\left(x \right)}$

4. Simplificamos:

   $- \log{\left(4^{4^{- \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}} \right)}$

Respuesta:

$- \log{\left(4^{4^{- \sin{\left(x \right)}} \cos{\left(x \right)}} \right)}$