Sr Examen

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(x+x^(1/3))*ctgx
Derivada de la función/ x^(1/3)/ (x+x^(1/3))*ctgx

Derivada de (x+x^(1/3))*ctgx

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
/    3 ___\       
\x + \/ x /*cot(x)
(x3+x)cot⁡(x)\left(\sqrt[3]{x} + x\right) \cot{\left(x \right)} 
(x + x^(1/3))*cot(x)
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=x3+xf{\left(x \right)} = \sqrt[3]{x} + x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. diferenciamos x3+x\sqrt[3]{x} + x miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      2. Según el principio, aplicamos: x3\sqrt[3]{x} tenemos 13x23\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}

      Como resultado de: 1+13x231 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}

    g(x)=cot⁡(x)g{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

      Method #1

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(x)=1tan⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

      2. Sustituimos u=tan⁡(x)u = \tan{\left(x \right)}.

      3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)tan⁡2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

      Method #2

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

        cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

        ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

        f(x)=cos⁡(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin⁡(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

        Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. La derivada del seno es igual al coseno:

          ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

        Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

        −sin⁡2(x)−cos⁡2(x)sin⁡2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

    Como resultado de: (1+13x23)cot⁡(x)−(x3+x)(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cos⁡2(x)tan⁡2(x)\left(1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}\right) \cot{\left(x \right)} - \frac{\left(\sqrt[3]{x} + x\right) \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

  2. Simplificamos:

    −2x53+x23sin⁡(2x)−2x+sin⁡(2x)3x23(1−cos⁡(2x))\frac{- 2 x^{\frac{5}{3}} + x^{\frac{2}{3}} \sin{\left(2 x \right)} - 2 x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{3}}{x^{\frac{2}{3}} \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}

Respuesta:

−2x53+x23sin⁡(2x)−2x+sin⁡(2x)3x23(1−cos⁡(2x))\frac{- 2 x^{\frac{5}{3}} + x^{\frac{2}{3}} \sin{\left(2 x \right)} - 2 x + \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{3}}{x^{\frac{2}{3}} \left(1 - \cos{\left(2 x \right)}\right)}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-5000050000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
/      1   \          /        2   \ /    3 ___\
|1 + ------|*cot(x) + \-1 - cot (x)/*\x + \/ x /
|       2/3|                                    
\    3*x   /
(1+13x23)cot⁡(x)+(x3+x)(−cot⁡2(x)−1)\left(1 + \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}\right) \cot{\left(x \right)} + \left(\sqrt[3]{x} + x\right) \left(- \cot^{2}{\left(x \right)} - 1\right)
Simplificar
Segunda derivada [src] 
  /  /       2   \ /     1  \                                            \
  |  \1 + cot (x)/*|3 + ----|                                            |
  |                |     2/3|                                            |
  |                \    x   /   cot(x)   /       2   \ /    3 ___\       |
2*|- ------------------------ - ------ + \1 + cot (x)/*\x + \/ x /*cot(x)|
  |             3                  5/3                                   |
  \                             9*x                                      /
2(−(3+1x23)(cot⁡2(x)+1)3+(x3+x)(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)−cot⁡(x)9x53)2 \left(- \frac{\left(3 + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)}{3} + \left(\sqrt[3]{x} + x\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} - \frac{\cot{\left(x \right)}}{9 x^{\frac{5}{3}}}\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /       2                                                                                            \
  |1 + cot (x)   5*cot(x)   /       2   \ /     1  \          /       2   \ /         2   \ /    3 ___\|
2*|----------- + -------- + \1 + cot (x)/*|3 + ----|*cot(x) - \1 + cot (x)/*\1 + 3*cot (x)/*\x + \/ x /|
  |      5/3         8/3                  |     2/3|                                                   |
  \   3*x        27*x                     \    x   /                                                   /
2((3+1x23)(cot⁡2(x)+1)cot⁡(x)−(x3+x)(cot⁡2(x)+1)(3cot⁡2(x)+1)+cot⁡2(x)+13x53+5cot⁡(x)27x83)2 \left(\left(3 + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} - \left(\sqrt[3]{x} + x\right) \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \left(3 \cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) + \frac{\cot^{2}{\left(x \right)} + 1}{3 x^{\frac{5}{3}}} + \frac{5 \cot{\left(x \right)}}{27 x^{\frac{8}{3}}}\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de (x+x^(1/3))*ctgx
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