Derivada de x*log(x,3)+7*log(x,6)

1. diferenciamos $x \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(3 \right)}} + 7 \frac{\log{\left(x \right)}}{\log{\left(6 \right)}}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = x \log{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \log{\left(3 \right)}$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

         Como resultado de: $\log{\left(x \right)} + 1$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. La derivada de una constante $\log{\left(3 \right)}$ es igual a cero.

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(3 \right)}}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

         Entonces, como resultado: $\frac{1}{x \log{\left(6 \right)}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{7}{x \log{\left(6 \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{\log{\left(x \right)} + 1}{\log{\left(3 \right)}} + \frac{7}{x \log{\left(6 \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(6^{x} \right)} + \log{\left(2187 \right)}}{x \log{\left(3 \right)} \log{\left(6 \right)}}$

Respuesta:

$\frac{\left(\log{\left(x \right)} + 1\right) \log{\left(6^{x} \right)} + \log{\left(2187 \right)}}{x \log{\left(3 \right)} \log{\left(6 \right)}}$