Derivada de y=tg6x²+(x-5)²

1. diferenciamos $\left(x - 5\right)^{2} + \tan^{2}{\left(6 x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Sustituimos $u = \tan{\left(6 x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(6 x \right)}$:

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(6 x \right)} = \frac{\sin{\left(6 x \right)}}{\cos{\left(6 x \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

         $f{\left(x \right)} = \sin{\left(6 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(6 x \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 6 x$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 6 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $6$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $6 \cos{\left(6 x \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 6 x$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 6 x$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $6$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 6 \sin{\left(6 x \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{6 \sin^{2}{\left(6 x \right)} + 6 \cos^{2}{\left(6 x \right)}}{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $\frac{2 \left(6 \sin^{2}{\left(6 x \right)} + 6 \cos^{2}{\left(6 x \right)}\right) \tan{\left(6 x \right)}}{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}$

   4. Sustituimos $u = x - 5$.

   5. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   6. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(x - 5\right)$:

      1. diferenciamos $x - 5$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         2. La derivada de una constante $-5$ es igual a cero.

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $2 x - 10$

   Como resultado de: $2 x + \frac{2 \left(6 \sin^{2}{\left(6 x \right)} + 6 \cos^{2}{\left(6 x \right)}\right) \tan{\left(6 x \right)}}{\cos^{2}{\left(6 x \right)}} - 10$

2. Simplificamos:

   $2 x - 10 + \frac{12 \tan{\left(6 x \right)}}{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}$

Respuesta:

$2 x - 10 + \frac{12 \tan{\left(6 x \right)}}{\cos^{2}{\left(6 x \right)}}$