Derivada de y=(5sinx)/3e^x

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = 5 e^{x} \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = 3$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Derivado $e^{x}$ es.

         $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Como resultado de: $e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)}$

      Entonces, como resultado: $5 e^{x} \sin{\left(x \right)} + 5 e^{x} \cos{\left(x \right)}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{5 e^{x} \sin{\left(x \right)}}{3} + \frac{5 e^{x} \cos{\left(x \right)}}{3}$

2. Simplificamos:

   $\frac{5 \sqrt{2} e^{x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}$

Respuesta:

$\frac{5 \sqrt{2} e^{x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{3}$