Sr Examen

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xtanx+log[cosx]-(x^2/2)
Derivada de la función/ x^2/2/ xtanx/ xtanx+log[cosx]-(x^2/2)

Derivada de xtanx+log[cosx]-(x^2/2)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                          2
                         x 
x*tan(x) + log(cos(x)) - --
                         2
−x22+(xtan⁡(x)+log⁡(cos⁡(x)))- \frac{x^{2}}{2} + \left(x \tan{\left(x \right)} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right) 
x*tan(x) + log(cos(x)) - x^2/2
Solución detallada

  1. diferenciamos −x22+(xtan⁡(x)+log⁡(cos⁡(x)))- \frac{x^{2}}{2} + \left(x \tan{\left(x \right)} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}\right) miembro por miembro:

    1. diferenciamos xtan⁡(x)+log⁡(cos⁡(x))x \tan{\left(x \right)} + \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)} miembro por miembro:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

        ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

        f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

        1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

        g(x)=tan⁡(x)g{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=sin⁡(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos⁡(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddxsin⁡(x)=cos⁡(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          sin⁡2(x)+cos⁡2(x)cos⁡2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

        Como resultado de: x(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cos⁡2(x)+tan⁡(x)\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}

      2. Sustituimos u=cos⁡(x)u = \cos{\left(x \right)}.

      3. Derivado log⁡(u)\log{\left(u \right)} es 1u\frac{1}{u}.

      4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcos⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)}:

        1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

          ddxcos⁡(x)=−sin⁡(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −sin⁡(x)cos⁡(x)- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

      Como resultado de: x(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cos⁡2(x)−sin⁡(x)cos⁡(x)+tan⁡(x)\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}

    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: x2x^{2} tenemos 2x2 x

      Entonces, como resultado: −x- x

    Como resultado de: x(sin⁡2(x)+cos⁡2(x))cos⁡2(x)−x−sin⁡(x)cos⁡(x)+tan⁡(x)\frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)}} - x - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}

  2. Simplificamos:

    xtan⁡2(x)x \tan^{2}{\left(x \right)}

Respuesta:

xtan⁡2(x)x \tan^{2}{\left(x \right)}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
       /       2   \   sin(x)         
-x + x*\1 + tan (x)/ - ------ + tan(x)
                       cos(x)
x(tan⁡2(x)+1)−x−sin⁡(x)cos⁡(x)+tan⁡(x)x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) - x - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}} + \tan{\left(x \right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
               2                              
     2      sin (x)       /       2   \       
2*tan (x) - ------- + 2*x*\1 + tan (x)/*tan(x)
               2                              
            cos (x)
2x(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)−sin⁡2(x)cos⁡2(x)+2tan⁡2(x)2 x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{\sin^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}} + 2 \tan^{2}{\left(x \right)}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
  /               2               3                                                        \
  |  /       2   \    sin(x)   sin (x)     /       2   \                 2    /       2   \|
2*|x*\1 + tan (x)/  - ------ - ------- + 3*\1 + tan (x)/*tan(x) + 2*x*tan (x)*\1 + tan (x)/|
  |                   cos(x)      3                                                        |
  \                            cos (x)                                                     /
2(x(tan⁡2(x)+1)2+2x(tan⁡2(x)+1)tan⁡2(x)+3(tan⁡2(x)+1)tan⁡(x)−sin⁡3(x)cos⁡3(x)−sin⁡(x)cos⁡(x))2 \left(x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 2 x \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan^{2}{\left(x \right)} + 3 \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \tan{\left(x \right)} - \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{\cos^{3}{\left(x \right)}} - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}\right)
Simplificar
Gráfico
Derivada de xtanx+log[cosx]-(x^2/2)
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