Sr Examen

Derivada de xlnx-ctgx2x

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
x*log(x) - cot(x)*2*x
xlog(x)x2cot(x)x \log{\left(x \right)} - x 2 \cot{\left(x \right)}
x*log(x) - cot(x)*2*x
Solución detallada
  1. diferenciamos xlog(x)x2cot(x)x \log{\left(x \right)} - x 2 \cot{\left(x \right)} miembro por miembro:

    1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

      f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

      1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

      g(x)=log(x)g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

      1. Derivado log(x)\log{\left(x \right)} es 1x\frac{1}{x}.

      Como resultado de: log(x)+1\log{\left(x \right)} + 1

    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

        1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

          ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

          f(x)=xf{\left(x \right)} = x; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

          g(x)=cot(x)g{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

            Method #1

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

              cot(x)=1tan(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}

            2. Sustituimos u=tan(x)u = \tan{\left(x \right)}.

            3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos 1u2- \frac{1}{u^{2}}

            4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan(x)\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}:

              1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                tan(x)=sin(x)cos(x)\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}

              2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

                f(x)=sin(x)f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} y g(x)=cos(x)g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}.

                Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

                1. La derivada del seno es igual al coseno:

                  ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

                Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

                1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                  ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

                Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                sin2(x)+cos2(x)cos2(x)\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              sin2(x)+cos2(x)cos2(x)tan2(x)- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}

            Method #2

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

              cot(x)=cos(x)sin(x)\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

              ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

              f(x)=cos(x)f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)} y g(x)=sin(x)g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}.

              Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

              1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                ddxcos(x)=sin(x)\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}

              Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

              1. La derivada del seno es igual al coseno:

                ddxsin(x)=cos(x)\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}

              Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

              sin2(x)cos2(x)sin2(x)\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}

          Como resultado de: x(sin2(x)+cos2(x))cos2(x)tan2(x)+cot(x)- \frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \cot{\left(x \right)}

        Entonces, como resultado: 2x(sin2(x)+cos2(x))cos2(x)tan2(x)+2cot(x)- \frac{2 x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 2 \cot{\left(x \right)}

      Entonces, como resultado: 2x(sin2(x)+cos2(x))cos2(x)tan2(x)2cot(x)\frac{2 x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - 2 \cot{\left(x \right)}

    Como resultado de: 2x(sin2(x)+cos2(x))cos2(x)tan2(x)+log(x)2cot(x)+1\frac{2 x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)} - 2 \cot{\left(x \right)} + 1

  2. Simplificamos:

    2xsin2(x)+log(x)+12tan(x)\frac{2 x}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)} + 1 - \frac{2}{\tan{\left(x \right)}}


Respuesta:

2xsin2(x)+log(x)+12tan(x)\frac{2 x}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)} + 1 - \frac{2}{\tan{\left(x \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-50000100000
Primera derivada [src]
                 /         2   \         
1 - 2*cot(x) + x*\2 + 2*cot (x)/ + log(x)
x(2cot2(x)+2)+log(x)2cot(x)+1x \left(2 \cot^{2}{\left(x \right)} + 2\right) + \log{\left(x \right)} - 2 \cot{\left(x \right)} + 1
Segunda derivada [src]
    1        2          /       2   \       
4 + - + 4*cot (x) - 4*x*\1 + cot (x)/*cot(x)
    x                                       
4x(cot2(x)+1)cot(x)+4cot2(x)+4+1x- 4 x \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} + 4 \cot^{2}{\left(x \right)} + 4 + \frac{1}{x}
Tercera derivada [src]
                                                  2                            
  1       /       2   \              /       2   \           2    /       2   \
- -- - 12*\1 + cot (x)/*cot(x) + 4*x*\1 + cot (x)/  + 8*x*cot (x)*\1 + cot (x)/
   2                                                                           
  x                                                                            
4x(cot2(x)+1)2+8x(cot2(x)+1)cot2(x)12(cot2(x)+1)cot(x)1x24 x \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right)^{2} + 8 x \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(x \right)} - 12 \left(\cot^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \cot{\left(x \right)} - \frac{1}{x^{2}}
Gráfico
Derivada de xlnx-ctgx2x