Derivada de xlnx-ctgx2x

1. diferenciamos $x \log{\left(x \right)} - x 2 \cot{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

      Como resultado de: $\log{\left(x \right)} + 1$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

            $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

            $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            $g{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

               Method #1

               1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                  $\cot{\left(x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(x \right)}}$

               2. Sustituimos $u = \tan{\left(x \right)}$.

               3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

               4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(x \right)}$:

                  1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                     $\tan{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)}}$

                  2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                     $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                     $f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$.

                     Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                     1. La derivada del seno es igual al coseno:

                        $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

                     Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                     1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                        $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

                     Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                     $\frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $- \frac{\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}}$

               Method #2

               1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

                  $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$

               2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

                  $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

                  $f{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

                  Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

                  1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                     $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

                  Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

                  1. La derivada del seno es igual al coseno:

                     $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

                  Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

                  $\frac{- \sin^{2}{\left(x \right)} - \cos^{2}{\left(x \right)}}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$

            Como resultado de: $- \frac{x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \cot{\left(x \right)}$

         Entonces, como resultado: $- \frac{2 x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + 2 \cot{\left(x \right)}$

      Entonces, como resultado: $\frac{2 x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} - 2 \cot{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $\frac{2 x \left(\sin^{2}{\left(x \right)} + \cos^{2}{\left(x \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(x \right)} \tan^{2}{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)} - 2 \cot{\left(x \right)} + 1$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 x}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)} + 1 - \frac{2}{\tan{\left(x \right)}}$

Respuesta:

$\frac{2 x}{\sin^{2}{\left(x \right)}} + \log{\left(x \right)} + 1 - \frac{2}{\tan{\left(x \right)}}$