Derivada de (x(x^2+3x+1))/(x+1)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(x^{2} + 3 x + 1\right)$ y $g{\left(x \right)} = x + 1$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = x^{2} + 3 x + 1$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $x^{2} + 3 x + 1$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

         3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            Entonces, como resultado: $3$

         Como resultado de: $2 x + 3$

      Como resultado de: $x^{2} + x \left(2 x + 3\right) + 3 x + 1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Como resultado de: $1$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- x \left(x^{2} + 3 x + 1\right) + \left(x + 1\right) \left(x^{2} + x \left(2 x + 3\right) + 3 x + 1\right)}{\left(x + 1\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{2 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 1}{x^{2} + 2 x + 1}$

Respuesta:

$\frac{2 x^{3} + 6 x^{2} + 6 x + 1}{x^{2} + 2 x + 1}$