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Derivada de la función/ y=a^x/ y=a^xx^a

Derivada de y=a^xx^a

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 x  a
a *x
axxaa^{x} x^{a} 
a^x*x^a
Solución detallada

  1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

    ddxf(x)g(x)=f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}

    f(x)=axf{\left(x \right)} = a^{x}; calculamos ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

    1. ∂∂xax=axlog⁡(a)\frac{\partial}{\partial x} a^{x} = a^{x} \log{\left(a \right)}

    g(x)=xag{\left(x \right)} = x^{a}; calculamos ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

    1. Según el principio, aplicamos: xax^{a} tenemos axax\frac{a x^{a}}{x}

    Como resultado de: aaxxax+axxalog⁡(a)\frac{a a^{x} x^{a}}{x} + a^{x} x^{a} \log{\left(a \right)}

  2. Simplificamos:

    axxa−1(a+xlog⁡(a))a^{x} x^{a - 1} \left(a + x \log{\left(a \right)}\right)

Respuesta:

axxa−1(a+xlog⁡(a))a^{x} x^{a - 1} \left(a + x \log{\left(a \right)}\right)

Primera derivada [src] 
                  x  a
 x  a          a*a *x 
a *x *log(a) + -------
                  x
aaxxax+axxalog⁡(a)\frac{a a^{x} x^{a}}{x} + a^{x} x^{a} \log{\left(a \right)}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
 x  a /   2      a*(-1 + a)   2*a*log(a)\
a *x *|log (a) + ---------- + ----------|
      |               2           x     |
      \              x                  /
axxa(2alog⁡(a)x+a(a−1)x2+log⁡(a)2)a^{x} x^{a} \left(\frac{2 a \log{\left(a \right)}}{x} + \frac{a \left(a - 1\right)}{x^{2}} + \log{\left(a \right)}^{2}\right)
Simplificar
Tercera derivada [src] 
      /            /     2      \          2                         \
 x  a |   3      a*\2 + a  - 3*a/   3*a*log (a)   3*a*(-1 + a)*log(a)|
a *x *|log (a) + ---------------- + ----------- + -------------------|
      |                  3               x                  2        |
      \                 x                                  x         /
axxa(3alog⁡(a)2x+3a(a−1)log⁡(a)x2+a(a2−3a+2)x3+log⁡(a)3)a^{x} x^{a} \left(\frac{3 a \log{\left(a \right)}^{2}}{x} + \frac{3 a \left(a - 1\right) \log{\left(a \right)}}{x^{2}} + \frac{a \left(a^{2} - 3 a + 2\right)}{x^{3}} + \log{\left(a \right)}^{3}\right)
Simplificar
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