Derivada de y=(ctg3x)^2e^x

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = \cot^{2}{\left(3 x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = \cot{\left(3 x \right)}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cot{\left(3 x \right)}$:

      1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

         Method #1

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\cot{\left(3 x \right)} = \frac{1}{\tan{\left(3 x \right)}}$

         2. Sustituimos $u = \tan{\left(3 x \right)}$.

         3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

         4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(3 x \right)}$:

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

               $\tan{\left(3 x \right)} = \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{\cos{\left(3 x \right)}}$

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$.

               Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Sustituimos $u = 3 x$.

               2. La derivada del seno es igual al coseno:

                  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $3$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $3 \cos{\left(3 x \right)}$

               Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. Sustituimos $u = 3 x$.

               2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $3$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$

               Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

               $\frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)}}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \frac{3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)} \tan^{2}{\left(3 x \right)}}$

         Method #2

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\cot{\left(3 x \right)} = \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{\sin{\left(3 x \right)}}$

         2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \cos{\left(3 x \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(3 x \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 3 x$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $3$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- 3 \sin{\left(3 x \right)}$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 3 x$.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} 3 x$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $3$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $3 \cos{\left(3 x \right)}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{- 3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} - 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \frac{2 \left(3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) \cot{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)} \tan^{2}{\left(3 x \right)}}$

   $g{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Derivado $e^{x}$ es.

   Como resultado de: $- \frac{2 \left(3 \sin^{2}{\left(3 x \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 x \right)}\right) e^{x} \cot{\left(3 x \right)}}{\cos^{2}{\left(3 x \right)} \tan^{2}{\left(3 x \right)}} + e^{x} \cot^{2}{\left(3 x \right)}$

2. Simplificamos:

   $\left(-1 + \frac{1}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}} - \frac{6 \cos{\left(3 x \right)}}{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}\right) e^{x}$

Respuesta:

$\left(-1 + \frac{1}{\sin^{2}{\left(3 x \right)}} - \frac{6 \cos{\left(3 x \right)}}{\sin^{3}{\left(3 x \right)}}\right) e^{x}$