Derivada de x+(lnx+1)+2(lnx+1)/x

1. diferenciamos $\left(x + \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)\right) + \frac{2 \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)}{x}$ miembro por miembro:

   1. diferenciamos $x + \left(\log{\left(x \right)} + 1\right)$ miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      2. diferenciamos $\log{\left(x \right)} + 1$ miembro por miembro:

         1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

         2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         Como resultado de: $\frac{1}{x}$

      Como resultado de: $1 + \frac{1}{x}$

   2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

      $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

      $f{\left(x \right)} = 2 \log{\left(x \right)} + 2$ y $g{\left(x \right)} = x$.

      Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $2 \log{\left(x \right)} + 2$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Derivado $\log{\left(x \right)}$ es $\frac{1}{x}$.

            Entonces, como resultado: $\frac{2}{x}$

         Como resultado de: $\frac{2}{x}$

      Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

      $- \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$

   Como resultado de: $1 + \frac{1}{x} - \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{2} + x - 2 \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} + x - 2 \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$