Derivada de (-x*e^x+e^x-1)/(1-e^x)^2

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = - x e^{x} + e^{x} - 1$ y $g{\left(x \right)} = \left(1 - e^{x}\right)^{2}$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $- x e^{x} + e^{x} - 1$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $-1$ es igual a cero.

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

            $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

            $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            $g{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Derivado $e^{x}$ es.

            Como resultado de: $x e^{x} + e^{x}$

         Entonces, como resultado: $- x e^{x} - e^{x}$

      3. Derivado $e^{x}$ es.

      Como resultado de: $- x e^{x}$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. Sustituimos $u = 1 - e^{x}$.

   2. Según el principio, aplicamos: $u^{2}$ tenemos $2 u$

   3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \left(1 - e^{x}\right)$:

      1. diferenciamos $1 - e^{x}$ miembro por miembro:

         1. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

         2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Derivado $e^{x}$ es.

            Entonces, como resultado: $- e^{x}$

         Como resultado de: $- e^{x}$

      Como resultado de la secuencia de reglas:

      $- \left(2 - 2 e^{x}\right) e^{x}$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- x \left(1 - e^{x}\right)^{2} e^{x} + \left(2 - 2 e^{x}\right) \left(- x e^{x} + e^{x} - 1\right) e^{x}}{\left(1 - e^{x}\right)^{4}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{\left(x \left(e^{x} - 1\right) - 2 x e^{x} + 2 e^{x} - 2\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{3}}$

Respuesta:

$- \frac{\left(x \left(e^{x} - 1\right) - 2 x e^{x} + 2 e^{x} - 2\right) e^{x}}{\left(e^{x} - 1\right)^{3}}$