Derivada de x*exp(x)(a*cosx+b*sinx)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      $g{\left(x \right)} = e^{x}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. Derivado $e^{x}$ es.

      Como resultado de: $x e^{x} + e^{x}$

   $g{\left(x \right)} = a \cos{\left(x \right)} + b \sin{\left(x \right)}$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $a \cos{\left(x \right)} + b \sin{\left(x \right)}$ miembro por miembro:

      1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d x} \cos{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$

         Entonces, como resultado: $- a \sin{\left(x \right)}$

      2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d x} \sin{\left(x \right)} = \cos{\left(x \right)}$

         Entonces, como resultado: $b \cos{\left(x \right)}$

      Como resultado de: $- a \sin{\left(x \right)} + b \cos{\left(x \right)}$

   Como resultado de: $x \left(- a \sin{\left(x \right)} + b \cos{\left(x \right)}\right) e^{x} + \left(a \cos{\left(x \right)} + b \sin{\left(x \right)}\right) \left(x e^{x} + e^{x}\right)$

2. Simplificamos:

   $\left(- x \left(a \sin{\left(x \right)} - b \cos{\left(x \right)}\right) + \left(x + 1\right) \left(a \cos{\left(x \right)} + b \sin{\left(x \right)}\right)\right) e^{x}$

Respuesta:

$\left(- x \left(a \sin{\left(x \right)} - b \cos{\left(x \right)}\right) + \left(x + 1\right) \left(a \cos{\left(x \right)} + b \sin{\left(x \right)}\right)\right) e^{x}$