Derivada de (-x)/(x^2+2*x+2)

1. Se aplica la regla de la derivada parcial:

   $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

   $f{\left(x \right)} = - x$ y $g{\left(x \right)} = x^{2} + 2 x + 2$.

   Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      Entonces, como resultado: $-1$

   Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x^{2} + 2 x + 2$ miembro por miembro:

      1. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

      2. Según el principio, aplicamos: $x^{2}$ tenemos $2 x$

      3. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         Entonces, como resultado: $2$

      Como resultado de: $2 x + 2$

   Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

   $\frac{- x^{2} + x \left(2 x + 2\right) - 2 x - 2}{\left(x^{2} + 2 x + 2\right)^{2}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{x^{2} - 2}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} - 2}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}$