Derivada de y=-ctg(x/2)-(1/3)ctg^3(x/2)

1. diferenciamos $- \frac{\cot^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}$ miembro por miembro:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

         Method #1

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

         2. Sustituimos $u = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

         3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

         4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}$:

            1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

               $\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

            2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

               $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

               $f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

               Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

               2. La derivada del seno es igual al coseno:

                  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

               Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

               2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

                  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

               3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

                  1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                     1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                     Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

                  Como resultado de la secuencia de reglas:

                  $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

               Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

               $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

         Method #2

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

         2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}$

            $f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}$ y $g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

            Para calcular $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos $u = \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}$.

      2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}$:

         1. Sustituimos $u = \frac{x}{2}$.

         2. $\frac{d}{d u} \cot{\left(u \right)} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d x} \frac{x}{2}$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $\frac{1}{2}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

         Como resultado de la secuencia de reglas:

         $- \frac{3 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

2. Simplificamos:

   $\frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}$