Sr Examen

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y=-ctg(x/2)-(1/3)ctg^3(x/2)
Derivada de la función/ y=-ctg(x/2)-(1/3)ctg^3(x/2)

Derivada de y=-ctg(x/2)-(1/3)ctg^3(x/2)

Función f() - derivada -er orden en el punto
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
              3/x\
           cot |-|
     /x\       \2/
- cot|-| - -------
     \2/      3
−cot⁡3(x2)3−cot⁡(x2)- \frac{\cot^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} 
-cot(x/2) - cot(x/2)^3/3
Solución detallada

  1. diferenciamos −cot⁡3(x2)3−cot⁡(x2)- \frac{\cot^{3}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} - \cot{\left(\frac{x}{2} \right)} miembro por miembro:

    1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

        Method #1

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(x2)=1tan⁡(x2)\cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{1}{\tan{\left(\frac{x}{2} \right)}}

        2. Sustituimos u=tan⁡(x2)u = \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}.

        3. Según el principio, aplicamos: 1u\frac{1}{u} tenemos −1u2- \frac{1}{u^{2}}

        4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxtan⁡(x2)\frac{d}{d x} \tan{\left(\frac{x}{2} \right)}:

          1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            tan⁡(x2)=sin⁡(x2)cos⁡(x2)\tan{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}

          2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

            f(x)=sin⁡(x2)f{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)} y g(x)=cos⁡(x2)g{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)}.

            Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

            1. Sustituimos u=x2u = \frac{x}{2}.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

              ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

              1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                Entonces, como resultado: 12\frac{1}{2}

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              cos⁡(x2)2\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

            Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

            1. Sustituimos u=x2u = \frac{x}{2}.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

              dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

              1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

                Entonces, como resultado: 12\frac{1}{2}

              Como resultado de la secuencia de reglas:

              −sin⁡(x2)2- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2cos⁡2(x2)\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2cos⁡2(x2)tan⁡2(x2)- \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

        Method #2

        1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

          cot⁡(x2)=cos⁡(x2)sin⁡(x2)\cot{\left(\frac{x}{2} \right)} = \frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}

        2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

          ddxf(x)g(x)=−f(x)ddxg(x)+g(x)ddxf(x)g2(x)\frac{d}{d x} \frac{f{\left(x \right)}}{g{\left(x \right)}} = \frac{- f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}}{g^{2}{\left(x \right)}}

          f(x)=cos⁡(x2)f{\left(x \right)} = \cos{\left(\frac{x}{2} \right)} y g(x)=sin⁡(x2)g{\left(x \right)} = \sin{\left(\frac{x}{2} \right)}.

          Para calcular ddxf(x)\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=x2u = \frac{x}{2}.

          2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            dducos⁡(u)=−sin⁡(u)\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: 12\frac{1}{2}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            −sin⁡(x2)2- \frac{\sin{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

          Para calcular ddxg(x)\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}:

          1. Sustituimos u=x2u = \frac{x}{2}.

          2. La derivada del seno es igual al coseno:

            ddusin⁡(u)=cos⁡(u)\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}

          3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

              1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

              Entonces, como resultado: 12\frac{1}{2}

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            cos⁡(x2)2\frac{\cos{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}

          Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

          −sin⁡2(x2)2−cos⁡2(x2)2sin⁡2(x2)\frac{- \frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

      Entonces, como resultado: sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2cos⁡2(x2)tan⁡2(x2)\frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

    2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Sustituimos u=cot⁡(x2)u = \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}.

      2. Según el principio, aplicamos: u3u^{3} tenemos 3u23 u^{2}

      3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxcot⁡(x2)\frac{d}{d x} \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}:

        1. Sustituimos u=x2u = \frac{x}{2}.

        2. dducot⁡(u)=−1sin⁡2(u)\frac{d}{d u} \cot{\left(u \right)} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left(u \right)}}

        3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por ddxx2\frac{d}{d x} \frac{x}{2}:

          1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

            1. Según el principio, aplicamos: xx tenemos 11

            Entonces, como resultado: 12\frac{1}{2}

          Como resultado de la secuencia de reglas:

          −12sin⁡2(x2)- \frac{1}{2 \sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

        Como resultado de la secuencia de reglas:

        −3(sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2)cot⁡2(x2)cos⁡2(x2)tan⁡2(x2)- \frac{3 \left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

      Entonces, como resultado: (sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2)cot⁡2(x2)cos⁡2(x2)tan⁡2(x2)\frac{\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

    Como resultado de: (sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2)cot⁡2(x2)cos⁡2(x2)tan⁡2(x2)+sin⁡2(x2)2+cos⁡2(x2)2cos⁡2(x2)tan⁡2(x2)\frac{\left(\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}\right) \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}} + \frac{\frac{\sin^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}}{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} \tan^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

  2. Simplificamos:

    cos⁡2(x2)(cos⁡(x)+1)sin⁡4(x2)\frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

Respuesta:

cos⁡2(x2)(cos⁡(x)+1)sin⁡4(x2)\frac{\cos^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{\left(\cos{\left(x \right)} + 1\right) \sin^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)}}

Gráfica
02468-8-6-4-2-1010-200000200000
Trazar el gráfico f(x)
Trazar el gráfico f'(x)
Primera derivada [src] 
                      /           2/x\\
                      |      3*cot |-||
       2/x\      2/x\ |  3         \2/|
    cot |-|   cot |-|*|- - - ---------|
1       \2/       \2/ \  2       2    /
- + ------- - -------------------------
2      2                  3
−(−3cot⁡2(x2)2−32)cot⁡2(x2)3+cot⁡2(x2)2+12- \frac{\left(- \frac{3 \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} - \frac{3}{2}\right) \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{3} + \frac{\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2} + \frac{1}{2}
Simplificar
Segunda derivada [src] 
 /       2/x\\ /         2/x\\    /x\ 
-|1 + cot |-||*|2 + 2*cot |-||*cot|-| 
 \        \2// \          \2//    \2/ 
--------------------------------------
                  2
−(cot⁡2(x2)+1)(2cot⁡2(x2)+2)cot⁡(x2)2- \frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \left(2 \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2\right) \cot{\left(\frac{x}{2} \right)}}{2}
Simplificar
Tercera derivada [src] 
              /                 2                                                  \
/       2/x\\ |    /       2/x\\         4/x\        2/x\        2/x\ /       2/x\\|
|1 + cot |-||*|1 + |1 + cot |-||  + 2*cot |-| + 3*cot |-| + 7*cot |-|*|1 + cot |-|||
\        \2// \    \        \2//          \2/         \2/         \2/ \        \2///
------------------------------------------------------------------------------------
                                         4
(cot⁡2(x2)+1)((cot⁡2(x2)+1)2+7(cot⁡2(x2)+1)cot⁡2(x2)+2cot⁡4(x2)+3cot⁡2(x2)+1)4\frac{\left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \left(\left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)^{2} + 7 \left(\cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right) \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 2 \cot^{4}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 3 \cot^{2}{\left(\frac{x}{2} \right)} + 1\right)}{4}
Simplificar
Gráfico
Derivada de y=-ctg(x/2)-(1/3)ctg^3(x/2)
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