Derivada de x=tan(tan(y))

Solución

Ha introducido [src]

tan(tan(y))

$$\tan{\left(\tan{\left(y \right)} \right)}$$

tan(tan(y))

Solución detallada

Reescribimos las funciones para diferenciar:

$\tan{\left(\tan{\left(y \right)} \right)} = \frac{\sin{\left(\tan{\left(y \right)} \right)}}{\cos{\left(\tan{\left(y \right)} \right)}}$
Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d y} \frac{f{\left(y \right)}}{g{\left(y \right)}} = \frac{- f{\left(y \right)} \frac{d}{d y} g{\left(y \right)} + g{\left(y \right)} \frac{d}{d y} f{\left(y \right)}}{g^{2}{\left(y \right)}}$

$f{\left(y \right)} = \sin{\left(\tan{\left(y \right)} \right)}$ y $g{\left(y \right)} = \cos{\left(\tan{\left(y \right)} \right)}$ .

Para calcular $\frac{d}{d y} f{\left(y \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \tan{\left(y \right)}$ .
2. La derivada del seno es igual al coseno:
  
  $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d y} \tan{\left(y \right)}$ :
  1. $\frac{d}{d y} \tan{\left(y \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(y \right)}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $\frac{\left(\sin^{2}{\left(y \right)} + \cos^{2}{\left(y \right)}\right) \cos{\left(\tan{\left(y \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(y \right)}}$
Para calcular $\frac{d}{d y} g{\left(y \right)}$ :
1. Sustituimos $u = \tan{\left(y \right)}$ .
2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:
  
  $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d y} \tan{\left(y \right)}$ :
  1. $\frac{d}{d y} \tan{\left(y \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(y \right)}}$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $- \frac{\left(\sin^{2}{\left(y \right)} + \cos^{2}{\left(y \right)}\right) \sin{\left(\tan{\left(y \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(y \right)}}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{\frac{\left(\sin^{2}{\left(y \right)} + \cos^{2}{\left(y \right)}\right) \sin^{2}{\left(\tan{\left(y \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(y \right)}} + \frac{\left(\sin^{2}{\left(y \right)} + \cos^{2}{\left(y \right)}\right) \cos^{2}{\left(\tan{\left(y \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(y \right)}}}{\cos^{2}{\left(\tan{\left(y \right)} \right)}}$
Simplificamos:

$\frac{1}{\cos^{2}{\left(y \right)} \cos^{2}{\left(\tan{\left(y \right)} \right)}}$

Respuesta:

$\frac{1}{\cos^{2}{\left(y \right)} \cos^{2}{\left(\tan{\left(y \right)} \right)}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

/       2   \ /       2        \
\1 + tan (y)/*\1 + tan (tan(y))/

$$\left(\tan^{2}{\left(y \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(\tan{\left(y \right)} \right)} + 1\right)$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

  /       2   \ /       2        \ //       2   \                     \
2*\1 + tan (y)/*\1 + tan (tan(y))/*\\1 + tan (y)/*tan(tan(y)) + tan(y)/

$$2 \left(\left(\tan^{2}{\left(y \right)} + 1\right) \tan{\left(\tan{\left(y \right)} \right)} + \tan{\left(y \right)}\right) \left(\tan^{2}{\left(y \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(\tan{\left(y \right)} \right)} + 1\right)$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

                                   /                             2                                     2                                                  \
  /       2   \ /       2        \ |         2      /       2   \  /       2        \     /       2   \     2             /       2   \                   |
2*\1 + tan (y)/*\1 + tan (tan(y))/*\1 + 3*tan (y) + \1 + tan (y)/ *\1 + tan (tan(y))/ + 2*\1 + tan (y)/ *tan (tan(y)) + 6*\1 + tan (y)/*tan(y)*tan(tan(y))/

$$2 \left(\tan^{2}{\left(y \right)} + 1\right) \left(\tan^{2}{\left(\tan{\left(y \right)} \right)} + 1\right) \left(\left(\tan^{2}{\left(y \right)} + 1\right)^{2} \left(\tan^{2}{\left(\tan{\left(y \right)} \right)} + 1\right) + 2 \left(\tan^{2}{\left(y \right)} + 1\right)^{2} \tan^{2}{\left(\tan{\left(y \right)} \right)} + 6 \left(\tan^{2}{\left(y \right)} + 1\right) \tan{\left(y \right)} \tan{\left(\tan{\left(y \right)} \right)} + 3 \tan^{2}{\left(y \right)} + 1\right)$$

Simplificar

Gráfico

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Derivada de x=tan(tan(y))

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución