Derivada de -4*tan(5*t)-2*cot(3*t)

1. diferenciamos $- 4 \tan{\left(5 t \right)} - 2 \cot{\left(3 t \right)}$ miembro por miembro:

   1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

         $\tan{\left(5 t \right)} = \frac{\sin{\left(5 t \right)}}{\cos{\left(5 t \right)}}$

      2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

         $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

         $f{\left(t \right)} = \sin{\left(5 t \right)}$ y $g{\left(t \right)} = \cos{\left(5 t \right)}$.

         Para calcular $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 5 t$.

         2. La derivada del seno es igual al coseno:

            $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} 5 t$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $t$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $5$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $5 \cos{\left(5 t \right)}$

         Para calcular $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

         1. Sustituimos $u = 5 t$.

         2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

            $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

         3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} 5 t$:

            1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

               1. Según el principio, aplicamos: $t$ tenemos $1$

               Entonces, como resultado: $5$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- 5 \sin{\left(5 t \right)}$

         Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

         $\frac{5 \sin^{2}{\left(5 t \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 t \right)}}{\cos^{2}{\left(5 t \right)}}$

      Entonces, como resultado: $- \frac{4 \left(5 \sin^{2}{\left(5 t \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 t \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(5 t \right)}}$

   2. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

      1. Hay varias formas de calcular esta derivada.

         Method #1

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\cot{\left(3 t \right)} = \frac{1}{\tan{\left(3 t \right)}}$

         2. Sustituimos $u = \tan{\left(3 t \right)}$.

         3. Según el principio, aplicamos: $\frac{1}{u}$ tenemos $- \frac{1}{u^{2}}$

         4. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} \tan{\left(3 t \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 3 t$.

            2. $\frac{d}{d u} \tan{\left(u \right)} = \frac{1}{\cos^{2}{\left(u \right)}}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} 3 t$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $t$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $3$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $\frac{3}{\cos^{2}{\left(3 t \right)}}$

            Como resultado de la secuencia de reglas:

            $- \frac{3 \sin^{2}{\left(3 t \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 t \right)}}{\cos^{2}{\left(3 t \right)} \tan^{2}{\left(3 t \right)}}$

         Method #2

         1. Reescribimos las funciones para diferenciar:

            $\cot{\left(3 t \right)} = \frac{\cos{\left(3 t \right)}}{\sin{\left(3 t \right)}}$

         2. Se aplica la regla de la derivada parcial:

            $\frac{d}{d t} \frac{f{\left(t \right)}}{g{\left(t \right)}} = \frac{- f{\left(t \right)} \frac{d}{d t} g{\left(t \right)} + g{\left(t \right)} \frac{d}{d t} f{\left(t \right)}}{g^{2}{\left(t \right)}}$

            $f{\left(t \right)} = \cos{\left(3 t \right)}$ y $g{\left(t \right)} = \sin{\left(3 t \right)}$.

            Para calcular $\frac{d}{d t} f{\left(t \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 3 t$.

            2. La derivada del coseno es igual a menos el seno:

               $\frac{d}{d u} \cos{\left(u \right)} = - \sin{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} 3 t$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $t$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $3$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $- 3 \sin{\left(3 t \right)}$

            Para calcular $\frac{d}{d t} g{\left(t \right)}$:

            1. Sustituimos $u = 3 t$.

            2. La derivada del seno es igual al coseno:

               $\frac{d}{d u} \sin{\left(u \right)} = \cos{\left(u \right)}$

            3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d t} 3 t$:

               1. La derivada del producto de una constante por función es igual al producto de esta constante por la derivada de esta función.

                  1. Según el principio, aplicamos: $t$ tenemos $1$

                  Entonces, como resultado: $3$

               Como resultado de la secuencia de reglas:

               $3 \cos{\left(3 t \right)}$

            Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

            $\frac{- 3 \sin^{2}{\left(3 t \right)} - 3 \cos^{2}{\left(3 t \right)}}{\sin^{2}{\left(3 t \right)}}$

      Entonces, como resultado: $\frac{2 \left(3 \sin^{2}{\left(3 t \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 t \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(3 t \right)} \tan^{2}{\left(3 t \right)}}$

   Como resultado de: $\frac{2 \left(3 \sin^{2}{\left(3 t \right)} + 3 \cos^{2}{\left(3 t \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(3 t \right)} \tan^{2}{\left(3 t \right)}} - \frac{4 \left(5 \sin^{2}{\left(5 t \right)} + 5 \cos^{2}{\left(5 t \right)}\right)}{\cos^{2}{\left(5 t \right)}}$

2. Simplificamos:

   $- \frac{20}{\cos^{2}{\left(5 t \right)}} + \frac{6}{\sin^{2}{\left(3 t \right)}}$

Respuesta:

$- \frac{20}{\cos^{2}{\left(5 t \right)}} + \frac{6}{\sin^{2}{\left(3 t \right)}}$