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¿Cómo usar?
Derivada de:
Derivada de e^((3*x)^2)
Derivada de d/dx(x)
Derivada de (cos(x))^x^2
Derivada de (8*x-15)^5
Expresiones idénticas
z^ dos (z-4i)^ tres /(z^ dos + dieciséis)^ tres
z al cuadrado (z menos 4i) al cubo dividir por (z al cuadrado más 16) al cubo
z en el grado dos (z menos 4i) en el grado tres dividir por (z en el grado dos más dieciséis) en el grado tres
z2(z-4i)3/(z2+16)3
z2z-4i3/z2+163
z²(z-4i)³/(z²+16)³
z en el grado 2(z-4i) en el grado 3/(z en el grado 2+16) en el grado 3
z^2z-4i^3/z^2+16^3
z^2(z-4i)^3 dividir por (z^2+16)^3
Expresiones semejantes
z^2(z-4i)^3/(z^2-16)^3
z^2(z+4i)^3/(z^2+16)^3

Derivada de la función/ z^2+1/ z^2(z-4i)^3/(z^2+16)^3

Derivada de z^2(z-4i)^3/(z^2+16)^3

Solución

Ha introducido [src]

 2          3
z *(z - 4*I) 
-------------
           3 
  / 2     \  
  \z  + 16/

$$\frac{z^{2} \left(z - 4 i\right)^{3}}{\left(z^{2} + 16\right)^{3}}$$

(z^2*(z - 4*i)^3)/(z^2 + 16)^3

Solución detallada

Se aplica la regla de la derivada parcial:

$\frac{d}{d z} \frac{f{\left(z \right)}}{g{\left(z \right)}} = \frac{- f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}}{g^{2}{\left(z \right)}}$

$f{\left(z \right)} = z^{2} \left(z - 4 i\right)^{3}$ y $g{\left(z \right)} = \left(z^{2} + 16\right)^{3}$ .

Para calcular $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$ :
1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:
  
  $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)} g{\left(z \right)} = f{\left(z \right)} \frac{d}{d z} g{\left(z \right)} + g{\left(z \right)} \frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$
  
  $f{\left(z \right)} = z^{2}$ ; calculamos $\frac{d}{d z} f{\left(z \right)}$ :
  1. Según el principio, aplicamos: $z^{2}$ tenemos $2 z$
  $g{\left(z \right)} = \left(z - 4 i\right)^{3}$ ; calculamos $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$ :
  1. Sustituimos $u = z - 4 i$ .
  2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$
  3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d z} \left(z - 4 i\right)$ :
    1. diferenciamos $z - 4 i$ miembro por miembro:
      1. Según el principio, aplicamos: $z$ tenemos $1$
      2. La derivada de una constante $- 4 i$ es igual a cero.
      Como resultado de: $1$
    Como resultado de la secuencia de reglas:
    
    $3 \left(z - 4 i\right)^{2}$
  Como resultado de: $3 z^{2} \left(z - 4 i\right)^{2} + 2 z \left(z - 4 i\right)^{3}$
Para calcular $\frac{d}{d z} g{\left(z \right)}$ :
1. Sustituimos $u = z^{2} + 16$ .
2. Según el principio, aplicamos: $u^{3}$ tenemos $3 u^{2}$
3. Luego se aplica una cadena de reglas. Multiplicamos por $\frac{d}{d z} \left(z^{2} + 16\right)$ :
  1. diferenciamos $z^{2} + 16$ miembro por miembro:
    1. La derivada de una constante $16$ es igual a cero.
    2. Según el principio, aplicamos: $z^{2}$ tenemos $2 z$
    Como resultado de: $2 z$
  Como resultado de la secuencia de reglas:
  
  $6 z \left(z^{2} + 16\right)^{2}$
Ahora aplicamos la regla de la derivada de una divesión:

$\frac{- 6 z^{3} \left(z - 4 i\right)^{3} \left(z^{2} + 16\right)^{2} + \left(z^{2} + 16\right)^{3} \left(3 z^{2} \left(z - 4 i\right)^{2} + 2 z \left(z - 4 i\right)^{3}\right)}{\left(z^{2} + 16\right)^{6}}$
Simplificamos:

$\frac{z \left(z - 4 i\right)^{2} \left(- 6 z^{2} \left(z - 4 i\right) + \left(5 z - 8 i\right) \left(z^{2} + 16\right)\right)}{\left(z^{2} + 16\right)^{4}}$

Respuesta:

$\frac{z \left(z - 4 i\right)^{2} \left(- 6 z^{2} \left(z - 4 i\right) + \left(5 z - 8 i\right) \left(z^{2} + 16\right)\right)}{\left(z^{2} + 16\right)^{4}}$

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Trazar el gráfico f'(x)

Primera derivada [src]

             3      2          2      3          3
2*z*(z - 4*I)  + 3*z *(z - 4*I)    6*z *(z - 4*I) 
-------------------------------- - ---------------
                    3                          4  
           / 2     \                  / 2     \   
           \z  + 16/                  \z  + 16/

$$- \frac{6 z^{3} \left(z - 4 i\right)^{3}}{\left(z^{2} + 16\right)^{4}} + \frac{3 z^{2} \left(z - 4 i\right)^{2} + 2 z \left(z - 4 i\right)^{3}}{\left(z^{2} + 16\right)^{3}}$$

Simplificar

Segunda derivada [src]

            /                                                                                  /          2 \\
            |                                                                     2          2 |       8*z  ||
            |                                                                  3*z *(z - 4*I) *|-1 + -------||
            |                                       2                                          |           2||
            |         2      2                   6*z *(z - 4*I)*(-8*I + 5*z)                   \     16 + z /|
2*(z - 4*I)*|(z - 4*I)  + 3*z  + 6*z*(z - 4*I) - --------------------------- + ------------------------------|
            |                                                    2                              2            |
            \                                              16 + z                         16 + z             /
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                           3                                                  
                                                  /      2\                                                   
                                                  \16 + z /

$$\frac{2 \left(z - 4 i\right) \left(\frac{3 z^{2} \left(z - 4 i\right)^{2} \left(\frac{8 z^{2}}{z^{2} + 16} - 1\right)}{z^{2} + 16} - \frac{6 z^{2} \left(z - 4 i\right) \left(5 z - 8 i\right)}{z^{2} + 16} + 3 z^{2} + 6 z \left(z - 4 i\right) + \left(z - 4 i\right)^{2}\right)}{\left(z^{2} + 16\right)^{3}}$$

Simplificar

Tercera derivada [src]

  /                                                    /          2 \                                                                      /          2 \             \
  |                                       3          3 |      10*z  |                                                                    2 |       8*z  |             |
  |                                    8*z *(z - 4*I) *|-3 + -------|                                                       3*z*(z - 4*I) *|-1 + -------|*(-8*I + 5*z)|
  |                                                    |           2|                 /         2      2                \                  |           2|             |
  | 2              2                                   \     16 + z /   6*z*(z - 4*I)*\(z - 4*I)  + 3*z  + 6*z*(z - 4*I)/                  \     16 + z /             |
6*|z  + 3*(z - 4*I)  + 6*z*(z - 4*I) - ------------------------------ - ------------------------------------------------- + ------------------------------------------|
  |                                                       2                                        2                                               2                  |
  |                                              /      2\                                   16 + z                                          16 + z                   |
  \                                              \16 + z /                                                                                                            /
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
                                                                                        3                                                                              
                                                                               /      2\                                                                               
                                                                               \16 + z /

$$\frac{6 \left(- \frac{8 z^{3} \left(z - 4 i\right)^{3} \left(\frac{10 z^{2}}{z^{2} + 16} - 3\right)}{\left(z^{2} + 16\right)^{2}} + z^{2} + \frac{3 z \left(z - 4 i\right)^{2} \left(5 z - 8 i\right) \left(\frac{8 z^{2}}{z^{2} + 16} - 1\right)}{z^{2} + 16} + 6 z \left(z - 4 i\right) - \frac{6 z \left(z - 4 i\right) \left(3 z^{2} + 6 z \left(z - 4 i\right) + \left(z - 4 i\right)^{2}\right)}{z^{2} + 16} + 3 \left(z - 4 i\right)^{2}\right)}{\left(z^{2} + 16\right)^{3}}$$

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