Derivada de x(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)

1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

   $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

   $f{\left(x \right)} = x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right)$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

   1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

      $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

      $f{\left(x \right)} = x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right)$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

      1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

         $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

         $f{\left(x \right)} = x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right)$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

         1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

            $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

            $f{\left(x \right)} = x \left(x + 1\right)$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

            1. Se aplica la regla de la derivada de una multiplicación:

               $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} g{\left(x \right)} = f{\left(x \right)} \frac{d}{d x} g{\left(x \right)} + g{\left(x \right)} \frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$

               $f{\left(x \right)} = x$; calculamos $\frac{d}{d x} f{\left(x \right)}$:

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               $g{\left(x \right)} = x + 1$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

               1. diferenciamos $x + 1$ miembro por miembro:

                  1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

                  2. La derivada de una constante $1$ es igual a cero.

                  Como resultado de: $1$

               Como resultado de: $2 x + 1$

            $g{\left(x \right)} = x + 2$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

            1. diferenciamos $x + 2$ miembro por miembro:

               1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

               2. La derivada de una constante $2$ es igual a cero.

               Como resultado de: $1$

            Como resultado de: $x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)$

         $g{\left(x \right)} = x + 3$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

         1. diferenciamos $x + 3$ miembro por miembro:

            1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

            2. La derivada de una constante $3$ es igual a cero.

            Como resultado de: $1$

         Como resultado de: $x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)$

      $g{\left(x \right)} = x + 4$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

      1. diferenciamos $x + 4$ miembro por miembro:

         1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

         2. La derivada de una constante $4$ es igual a cero.

         Como resultado de: $1$

      Como resultado de: $x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 4\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)\right)$

   $g{\left(x \right)} = x + 5$; calculamos $\frac{d}{d x} g{\left(x \right)}$:

   1. diferenciamos $x + 5$ miembro por miembro:

      1. Según el principio, aplicamos: $x$ tenemos $1$

      2. La derivada de una constante $5$ es igual a cero.

      Como resultado de: $1$

   Como resultado de: $x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) + \left(x + 5\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) + \left(x + 4\right) \left(x \left(x + 1\right) \left(x + 2\right) + \left(x + 3\right) \left(x \left(x + 1\right) + \left(x + 2\right) \left(2 x + 1\right)\right)\right)\right)$

2. Simplificamos:

   $6 x^{5} + 75 x^{4} + 340 x^{3} + 675 x^{2} + 548 x + 120$

Respuesta:

$6 x^{5} + 75 x^{4} + 340 x^{3} + 675 x^{2} + 548 x + 120$